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puis prenons comme fonction generatrice le produit 



®{t) = <p(t) . t-"- 1 

 nous aurons sans peine ce dévéloppement nouveau 



s —~ s ! B 



(9) Sl(x) = J_ j- + - + j j {x + w + 2) .. . -f- u + s + 1 ) ' 



Yalable pourvu que nous ayons à la fois 



(9 fa*) 9t(a?)>0, 3fr(a?)>^, 



et où nous avons pose pour abréger 



(10) B M , s == r f ^ + r ).fa. r . 



En effet, nous verrons que le premier norabre caractéristique de ®(x) 

 est égal à X -j- n -j- 1 , quant au second nombre caractéristique, désignons 

 par d une quantité positive et finie telle que ó — X' 0 , mais étant aussi 

 petite qu'on le veut, nous aurons, en vertu de (5), 



/l \\ò n \ = \(p M (i)\<K.r(ó-\- 1), 



où K désigue une quantité positive et finie méme pour n infini, ce qui don- 

 nera, en vertu de (10) , 



S ||B,„KK.J ;y +r) )- .r (J + .-r + i). 



ou, ce qui vaut autant, 



«!|B„,,|<K.P(/i+l , — s, — J-s,l).r((f + s + l), 



où F désigne la serie hypergéométrique ordinaire, ce qui donnera, en vertu 

 d'une formule de Gauss, 



ce qui montre clairement que la sèrie de factorielles (9) est convergente, 

 pourvu que dx(x) satisfasse aux conditions (9fa"s). 



Cela posé, nous avons évidemment cet autre dévéloppement en serie de 

 factorielles 



a(a? + l)...(a?,+ ») '"W— 2. a?(a:+l)...(ar + » + s + l)' 

 EENDicoNTr. 1904, Voi. XIII, 1° Sem. 10 



