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qui est convergente, méme pour n infini, pourvu que nous ayons à la fois 

 (11 bis) 9fc(a?)>0, ®(x) > A , ${#)>^ r ; 



de plus, nous verrons que la serie de factorielles (11) est absolument con- 

 vergente, pourvu que 



(12) ìR(x) > 0 , 3?(^>^ + l, ^)>^'. 



Supposons maintenant que s soit un nombre fixe, puis considérons cette 

 autre sèrie de factorielles 



nous avons, en choisissant le nombre è figurant dans (10 bis), tei que 

 à — X[ ^> 0 , aussi, 



rc!K : <K'.r(<? + «+l), 

 ce qui donnera, en vertu de (10 bis), 



n\ s\ \c n \. \B n , s \< s '' : W^r n% 2) , 



ce qui montrera, à l'aide de (6), que la serie de factorielles (13) est abso- 

 lument convergente, pourvu que ?ft(x) satisfasse aux conditions (11 bis). 



Cela pose, mettons dans (11) n = 0 , 1 , 2 , 3 , 4, ... , puis ajoutons toutes 

 les équations ainsi obtenues, nous obtiendrons une serie à doublé entrée, dont 

 toutes les séries horizontales et verticales seront absolument convergentes, 

 pourvu que les conditions (12) soient remplies; c'est-à-dire que nous avons 

 certainement dans ce cas 



(14) &(x) . Q^x) =J , , Ar , , — tt , 



r §- 0 x(x -fi) ...(a?-+r+l) 



où nous avons pose pour abréger 



s = r 



(14 bis) A r = y (r — s) ! s ! e r _ s . B r _ s , s . 



Remarquons maintenant qu'il est permis de permuter dans (12) les deus 

 nombres A et A', il est évident que la serie de factorielles (14) est con- 

 vergente pourvu que les conditions (Il bis) soient remplies seulement; 

 c'est-à-dire que nous avons démontrè ce tbéorème general: 



