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Le produit des deux séries de factorielles Sì(x) et S2i{x), convergentes 

 pourvu que nous ayons respectivement Sì(x) ^> A et 3ì(x) > A\ est déve- 

 loppable en sèrie de factorielles convergente, pourvu que nous ayons à 

 la fois m(sò) > 0 , mp) > A et W{x) > A'% 



On voit, ce qui était à attendre du reste, que le coefficient A r est tres 

 compliqué. 



Cherehons rnairitenant la fonction generatrice %{t) qui correspond à la 

 serie de factorielles susdite, nous avons à chercher d'abord la fonction gene- 

 ratrice 4> n (t) de la fonction plus simple 



ni 



x(x -f- 1) — {x -J- n) 



Si{x). 



Or, supposons que <t> n {t) ait dans le point t=l un zèro du (w-)-l) ième 

 ordre, nous aurons évidemment, en intégrant par parties 



ri ( 1 \n+i ri 



4> n (t) t^- dt = ■ l") , : • Q>^ l) (t)t*^dt, 



J 0 x(x-\-l)...{x ^- n) J 0 



de sorte que l'intégrale définie rìgurant au second membro de cette formule 

 deviendra précisément égale à S2(x), si nous posons 



(_ l)n+i 4> M («+i)(^) r +1 = g>(t) , 



ou, ce qui vaut autant, 



<P n (*) = (-!)-'• j 



(n+l) |_ 



n+l 



d'où, en appliquant une formule bien cornine, due à Th. Claussen ( l ) 



= \y • P (l - ij ■ ^ • da + C\ + C\t + - + C' n t» , 



où les coefficients c' n sont complètement arbitraires. 



Or, je dis que le polynome arbitraire figurant au second membre de 

 cette formule doit s'évanouire, parce que l'intégrale définie a dans t = 1 

 un zèro du (n-\- l) ième ordre; c'est-à-dire que nous avons démontré cette for- 

 mule auxiliaire 



(15) 



ni J t \ aj a 



(•) Journal de Creile, t. IV, pag. 278. 



