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Cela pose, appliquons cette serie de puissances 



lp(l — t) = C 0 -^dt + d t + C 3 t* + - , 



nous aurons imiuédiatement, en vertu de (15), cet autre théorème remar- 

 quable : 



Pour le produit des deux séries de factorielles 



fì(x) = [\{t) t*- l ttt, Sì l (x)= \ l f(t)t x - 1 dt, 



nous aurons cette expression intégrale 



(16) n(x) . Sì,(x) = f\(t) F~ l dt , 



où la nouvelle fonction generatrice %(t) se détermine à l'aide de cette 

 expression simple 



(16Ms) ^^.m^^m^ 



L'identité des deux intégrales définies flgurant dans (16 bis) est evidente, 



parce que la substitution 8 = — nous transforme l'une de ces deux inté- 



a 



grales dans l'autre. 



Supposons par exemple 



Q(x) = iì x {x) = B(x) = C -f^-- dt , 



1 + t 



nous aurons aisérnent 



d7) W y = r i 2io ^ i + < »- 2 ' og2 - log< -^-&, 



Jo 1 -f- f 



formule particulière que j'ai démontrée récemment (') à l'aide d'un calcili di- 

 rect. La serie, de factorielles obtenue pour fì(x) est convergente dans toute 

 l'étendue du pian des x à l'exception dans les points isolés 0, — 1, — 2, 

 — 3,..., tandis que la serie de factorielles obtenue pour (/?(#) ) 2 n'est con- 

 vergente que si ?ft(x) > 0. 

 Posons encore 



sì(x) = n,(x) = ^(x) = f* Y^- t dt , 



nous aurons de mème 



(18) ( MX )Y = P 21o 8 (2-J)-lo g . ^ M . 



Un 4 t 



(•) Annali di Matematica, t. IX, pag. 293, 1903. 



