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un parametro che non ne altera il carattere ; questa corrisponde alla trasfor- 

 mazione di Lie-Bonnet per le superficie associate dì curvatura costante positiva. 



1. Abbiasi una rappresentazione qualunque equivalente (che conservi le 

 aree) della sfera di raggio = 1 sopra sè stessa. Riferiamo le due figure sfe- 

 riche a due sistemi coordinati (u , v) corrispondenti, e siano 



(1) 



ds 2 i = edu 2 -f- 2f du dv -J- g dv 

 ds*i = edu 2 -j- 2/ du dv -\-gdv 



le espressioni dei rispettivi elementi lineari delle due figure ; a causa della 

 conservazione delle aree sarà 



e porremo 

 (2) 



eg — f*= eg — f 2 . 

 J = e$— f 2 = ~èg — f 



Indicando con P , P due punti qualunque corrispondenti delle due figure 

 e con 



X3 , Y 3 , Z 3 

 X3 , Y3 , Z 3 



le loro rispettive coordinate, leghiamo alla prima figura un triedro triret- 

 tangolo 



(X,,^,Z,) 2 = 1,2,3 



col vertice in P il cui terzo spigolo è la normale alla sfera, e alla seconda 

 figura colleghiamo analogamente il triedro: 



. (X, , Ti J Z) /=1,2,3. 



Se p , q , r ; p x , q x , r x denotano le rotazioni del primo triedro, sussiste- 

 ranno le forinole fondamentali: 



(3) 



— ì = rX 2 - qX 3 , -—- = pX 3 — rX l , —— = 9 X,— pX 2 



Du Dm Dm 



-— L = r, X 2 — ^ X 3 , — =?iX 3 - ri X! , — = q l X l — p l X 2 , 



e le rotazioni saranno legate dalle relazioni caratteristiche 



(4) 



Dp Hpì Dq Dfc 



— — = qr l — q x r , — — = rp v 



Dv Du 1 1 Dv Du r 



— rip, 



Dr 

 Dv 



DTj. 

 DU 



■■pqi — thq. 



