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onde segue che scelta ad arbitrio nelle (6), p. e. ^ = 0, le (6) sono com- 

 patibili e danno <p con una quadratura che introduce una costante arbitraria. 



Possiamo dunque supporre, . e supporremo, la giacitura dei due triedri 

 scelta in guisa che le > (5) siano soddisfatte. 



2. Cerchiamo ora di determinare quattro funzioni £ , ^ ; fu'/i di u , v 

 tali che risultino contemporaneamente differenziali esatti le espressioni 



(£ X, + rj X 2 ) du-\- xf+ r h X 2 ) dv 

 (£ X, + i) t\)du -h (l x Xi + rji X 2 ) <fe 



e le altre che • se ne deducono cangiando le lettere X, X in T, Y, poi in Z,Z. 

 Se ciò è possibile e poniamo;: 



(7) 



(7*) 



X ==f(£ X, X 2 ) <fa + (£ X, -j- r h X 2 ) dy , 

 y = Y, + Y 2 ) rf M + (£, Y, + ^ Y 2 ) dv , 

 it = f(i-Z, +»; Z,) rifc + (IV Zi + Z 2 )^; 



i = J~(£ X, -|-»;X 2 ) du -[-(?! X t 4- j ? , X 2 ) dy , 

 .= JfeY, + »?Y 2 ) + (£,¥, -f ^ Y 2 )^,- 



« = (I Z x + Z 2 ) du + (?, Z, + Z 2 ) dy ; 



i due punti - (x \y , z) , (w,y\s) descriveranno due superficie S,S collo 

 stesso elemento lineare 



(8) ds 1 = (£ 2 + ^ <fe 2 + + VVl ) du dv + {ì\ + f x) dy 2 , 



e quindi applicabili luna sull'altra; inoltre S , S avranno per immagini 

 sferiche precisamente le due figure date. 



Ora le condizioni d' integrabilità per le (7) si traducono nelle tre equa- 

 zioni seguenti cui debbono soddisfare le quattro traslazioni £ ,rj ; , rj l 

 (cfr. Lezioni, voi. II, pag. 181) 



(9) 



7] r x — rjy r 



[ Uy l>u 



(10) 



VPi — l^i + SiQ — r]i P = 0 ■ 



