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Le condizioni d'integrabilità pei- le (7*) sono perfettamente analoghe 

 alle precedènti; ma poiché le rotazioni n,r l conservano secondo le (5) il 

 medesimo valore pel secondo triedro, le equazioni (9) restano inalterate mentre 

 la (10) diventa 



(10*) VPi — £ + q — r li r P = °- 



i6?l0i5Ì'l 



Le quattro funzioni incognite £ , r) ; f , , r] ì debbono dunque unicamente 

 soddisfare il sistema lineare delle quattro equazioni (9), (10), (10*). Segue 

 già di qui l'esistenza di infinite coppie di superficie applicabili, coli' asse- 

 gnata rappresentazione sferica; ma noi vogliamo ora trasformare questo 

 sistema lineare in un'unica equazione lineare del 2° ordine per una sola 

 funzione incognita. 



3. Per ottenere l'indicata trasformazione basta definire la superficie S 

 in coordinate .tangenziali 



"(X 3 ,Y 3 ,Z 3 ; W), 



indicando W la distanza del piano tangente di S dall'origine, ed esprimere 

 per mezzo di W e delle sue derivate prime e seconde le rotazioni p, q \pi , qi . 

 A tale scopo partiamo dalle forinole di Weingarten (') , i : 



(11) ^=,W1 3 + ^(W^ 



dove il parametro differenziale misto F(W , X 3 ) si intende calcolato rispetto 

 al ds 2 i sterico dato dalla prima delle (1). Conviene ora calcolare dalle (11) 



le derivate — , — come segue. 



Derivando rapporto ad u , v le identità 



DX 3 W x . _ w „ * ìX 3 7>W 



(12) ^(W,X3).^ = ^,^(W,S s)l 7= ■„ 

 si hanno in primo luogo le formole 



) ~òu ~òu ~òu 1v 



(13) L^w.xa jg, = ■ ^iw.xo .jjk =Wii , 



indicando con W rs le derivate seconde covarianti di W rispetto al ds 



(') Lezioni, voi. I, pag. 172. 



