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Siccome queste formole valgono per qualunque superficie S, è chiaro a 'priori 

 che i valori (15) di £,17; £1,171 soddisferanno le (9), (IO), qualunque sia 

 la funzione W ('). 



Ci rimarrà dunque solo da esprimere che con questi valori (15) di 

 £ , rj ; £1,771 anche la (IO*) deve essere soddisfatta. Troviamo così per la 

 funzione incognita W l'equazione lineare del 2° ordine: 



(A) — qiPi) Wn + (cjip—pq! -f- qp~i —piq) W 12 -f- 



■Jr (pq — qp) ^22 -{- Y J (PiP + QiQ — PP\ — qq~i) W = 0. 



È questa, sotto la sua forma più generale, l'equazione da cui dipende 

 la ricerca delle coppie di superficie applicabili con assegnata rappresenta- 

 zione sferica. 



Se per linee sferiche (u , v) prendiamo le linee (reali) isometriche della 

 rappresentazione della sfera sopra sè stessa, l'equazione (A) assume la forma 

 particolare (a) data al n° 2 della Nota precedente. 



4. Alla dimostrazione del teorema fondamentale aggiungiamo le osserva- 

 zioni seguenti: 



Se per le due superficie applicabili S , S corrispondenti ad una soluzione 

 nota W della equazione (A), indichiamo con 



D du 2 + 2 D' du dv -f D" dv 2 , D du- + 2 D' du dv + D" dv 2 



le due rispettive seconde forme quadratiche fondamentali, abbiamo le 

 formole ( 2 ) : 



, 16) l J) = r lP — ^q , D' = VPl — £ ?1 



( D'=VxP — hq , V"=ViPi — ^qi 



e le analoghe: 



\B = rjp — £q , D' = rjp\ — g q~i 

 (lo*) < _ _ _ _ _ _ 



| D'=77,2J — £,gr , D" = i7,p, — 



Se nelle (16) introduciamo per £ , 17 ; £1 , rj , i valori (15) e ricordiamo 

 che si ha: 



p 2 -\-q 2 = e , p Pl -J- <7//i = / , p 2 i J r q 2 i-=g, 

 troviamo che esse si riducono alle note formolo delle coordinate tangenziali ( 3 ) : 

 _D = Wn + eW , — D'=W 12 -f/W , — D" = W 22 + #W. 



(') Del resto per la (10) tale verifica è immediata e per le (9) risulterebbe con qualche 

 sviluppo di calcolo dalle identità: 



e = f -Y q * , f= ppi -f qq, , g =p\ -f q\ . 



( 2 ) Lezioni, voi. II, pag. 183. 



( 3 ) Lezioni, voi. I, pag. 173. 



