— 154 — 



Inverminente, confrontando queste colle (16), si trovano nuovamente le for-- 

 mole (15) dimostrate al n.° precedente. 



Ora osserviamo che il sistema coniugato comune alle due superficie ap- 

 plicabili S,S è formato dalle linee integrali della equazione differenziale 



V du -\- V dv. , T)' du-\- T)" dv 

 Vdu+D'dv , D'.du+p"dv 



0, 



che a causa delle (16), (16*) si risolve nella seguente: 



pdu-\-p 1 dv , qdu-\- q v dv 

 pdu-\-pidv , qdu-\-q x dv 



= 0. 



Ma si ha ^ — 0, altrimenti S , S si ridurrebbero a curve; 



quindi l' immagine sferica del sistema coniugato comune è dato dalle linee 

 integrali dell'equazione differenziale: 



(17) 



p da -j- Ihdv , q du -\- q x dv 

 p du-\-p x dv , qdu-\- q x dv 



= 0. 



Questa dipende unicamente dalle immagini sferiche date, onde si vede 

 che le infinite coppie (S , S) di superficie applicabili date dalle soluzioni W 

 della (A) hanno la medesima immagine sferica del sistema coniugato co- 

 mune. Si ritrovano così completati, i teoremi di Peterson ('). 



Osserviamo poi che se a linee coordinate (u , o) prendiamo quelle del 

 sistema coniugato comune (supposto formato di linee reali e distinte) avremo 



pq — qp = 0 , p l q l —q l p l = 0 



e l'equazione (A) si ridurrà alla nota forma 



W 12 + fW = Q 



da cui dipende la ricerca delle superficie che hanno il sistema sferico (u , v) 

 per immagine di un sistema coniugato. 



•Si può ancora osservare che dalla forma lineare omogenea della (A) ri- 

 sulta che note due diverse coppie (S , S) (S\ S') di superficie applicabili colla 

 medesima immagine sferica del sistema coniugato comune, se ne ottengono 

 infinite altre colla costruzione seguente. Indicando con M , M ; M r , M' quattro 

 punti corrispondenti delle quattro superficie, si congiunga M con M', M con M' 



(') Lesioni, voi. II, pag. 43. 



