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osservi che se la coppia (S , S) è di superficie reali, come supponiamo, esse 

 avranno necessariamente reali le assintotiche, cioè negativa la curvatura ( 1 ). 



Ora siccome D , D', D" soddisfanno le equazioni di Codazzi e la (23) , 

 se poniamo 



r — D , r = D' , r"=D" 



ne risulta definita, per quanto precede, una deformazione infinitesima di S . 

 E la superficie S 0 associata alla S in questa deformazione infinitesima avrà 

 per la (22) la curvatura 



D D"-D" 

 K °-DD"-D' 2 ~ + ' 



cioè la S 0 sarà applicabile sopra la sfera di raggio = 1 . Così la superficie S 

 supposta è necessariamente associata ad una superficie S 0 di curvatura co- 

 stante positiva. 



Inversamente se la S è associata in una deformazione infinitesima ad una 

 superficie S 0 di curvatura = + 1 , per i corrispondenti valori di r,r',r" 

 avremo dalla (22) 



rr"— r 3 = dd" — D' 2 



e ponendo 



d — r , D'=r , W = r" 



verremo a soddisfare insieme le equazioni di Codazzi e quella di Gauss 



D D" — D 72 

 EGr — F 2 ' 



onde esisterà una deformata (finita) S della S sulla quale, a causa della (23) 

 che trovasi verificata, le assintotiche di S si convertiranno in un sistema 

 coniugato. 



Abbiamo così dimostrato nuovamente il teorema: 



Condizione necessaria e sufficiente affinchè una superficie S ammetta 

 una deformazione che converta le sue linee assintotiche in un sistema 



(') E invero se S , S 7 avessero curvatura positiva il loro sistema coniugato comune 

 sarebbe certamente reale ed assumendolo a sistema coordinato (u , v) avremmo 



D' = D' = 0 



e 



DD" -j- D"D = 0 

 mentre DD" > 0 , DD" > 0 , condizioni che si contraddiscono. 



