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coniugato, è che la S sia associata in una deformazione infinitesima ad 

 una superficie S 0 di curvatura costante positiva. 



Si osservi in particolare che se la S 0 è una sfera, ogni sua associata S 

 è una superficie d'area minima e la deformazione è quella ben nota (di Bonnet) 

 che converte le assintotiche nelle linee di curvatura. 



7. Le due superficie S , S trovandosi nelle medesime condizioni, come 

 alla S corrisponde una superfìcie associata S 0 applicabile sulla sfera, così 

 alla S corrisponderà un' altra tale superfìcie S 0 ; e facilmente dimostriamo 

 che S 0 , S 0 sono trasformate l' una dell' altra per trasformazione involutoria 

 di Hazzidakis 



Per l'elemento lineare della S 0 abbiamo infatti dalle (21) la formola: 



, , _ ED' 2 -2FDD + G D 2 E D D" - F(D + W 



ds o- EG — F 2 du + 2 EG- — F 2 * Udo + 



ED" 2 — 2FD'D" + GD' 2 , , 



+ eg^f dv ; 



D'altra parte dalle formole fondamentali della teoria delle superficie e 

 precisamente dalle formole (1) pag. 149, voi. I delle Lezioni risulta che ds 2 0 

 è altresì il quadrato dell' elemento lineare sferico rappresentativo di S , cioè 

 di S 0 • Le due superfìcie a curvatura costante positiva S 0 , S 0 sono dunque 

 in tale relazione che l'elemento lineare dell'una coincide coll'elemento lineare 

 sferico dell'altra; esse sono perciò trasformate di Hazzidakis (Lesioni, 1. e). 



Inversamente risulta di qui, e lo confermeremo con calcolo diretto al 

 n.° seguente, che prese due superfìcie S 0 , S 0 di curvatura K 0 == -f- 1 , tra- 

 sformate di Hazzidakis, ad ogni superfìcie S associata alla S 0 ne corrisponde 

 una S , perfettamente determinata, associata alla S 0 e tale che S , S sono 

 applicabili, corrispondendo alle assintotiche dell'una un sistema coniugato sul- 

 1' altra. 



8. Ricerchiamo ora direttamente le formole che da una coppia nota S 0 , S 0 

 di deformate della sfera, nella relazione involutoria di Hazzidakis, fanno de- 

 rivare le infinite coppie (S , S) di superficie applicabili con corrispondenza 

 delle assintotiche ad un sistema coniugato. 



Se riferiamo S 0 , S 0 alle loro linee di curvatura (u , v) potremo porre 



t ds\ = senh 2 6 du 2 + cosh 2 6 dv 2 

 ( ds 2 0 — cosh 2 0 du 2 -f- senh 2 6 dv 2 



essendo 6 una soluzione dell'equazione a derivate parziali 



— - -I -4- senhfl cosh 6 = 0. 



1)U 2 ~òv 2 



(*) Lezioni, voi. II, pag. 436. 



