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Per i corrispondenti triedri principali collegati a S 0 , S 0 abbiamo allora 

 le forinole: 



(a) 



— ^ = — — X 2 — cosh0X 3 , = — X! , = cosb^X! 



~òu ~òv ~òu ~òv . ~òu 



7»X] 7>0 ~òX 2 D0 , „ -tr ^X 3 v 

 = — X 2 , = — — X t — senh 0 X 3 , = senh 6 X 2 



l>u ~òu ~èv liti liV 



l 



(a) 



\ 



^- = -^X 2 -senh0X 3 , Mijl!^ , ^^senhflX, 



~òll ~èV ~ÒU ~ÒV 1)U 



= — X 2 , - — = — — X, — cosh0X 3 , = cosh0X 2 



Abbiasi ora una qualunque superficie S associata alla S 0 in una defor- 

 mazione infinitesima. L'equazione di Weingarten per le deformazioni infini- 

 tesime della S 0 (o della S 0 ) è data da 



~òu 1 7>y 2 1 



e basterà prendere una soluzione W di questa per individuare in termini 

 finiti una tale superficie associata S . D' altra parte avremo per la S for- 

 inole del tipo: 



— = X senh 0 X x -J- fi cosh 0 X 2 



I — — a senh 6Xi — X cosh 0 X 2 , 



l ~òv 



colle analoghe per y , s , essendo X , ^ convenienti funzioni di u-,,v che si 

 potrebbero subito esprimere per W e le derivate (cfr. n.° 3). Le condizioni 

 d' integrabilità delle (<?) si esprimono per le (a) colle due equazioni seguenti 

 cui debbono soddisfare X , [i : 



( ^ (X cosh 2 0) + ^ (« cosh 2 e) = 0 

 — (,u senh 2 6) — — (A senh 2 fi) = 0 . 



Ma allora, in forma delle (a) , sono altresì differenziali esatti le espressioni : 

 ( — ,w cosh 0 X~! -f- A senh 0 X 2 ) cfe -J- (/ì cosh 0 Xj -j- ,u senh 6 X 2 ) & 



