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Esiste dunque una deformata S<j della S che ha per seconda forma fondamentale 



Da dii 1 + 2D' 5 du dv + D"„ du 2 

 D'altronde se poniamo ancora: 



D CT = Dir = — D sen <r 4- D cos <r , — D' TC — — D'senc 4- D'cosc, 



D", = D" x = — D" sen e 4- D" cos <r , 



— h<j 



2 



vediamo che D c , D'<j , D"<j soddisfanno nuovamente le equazioni di Codazzi e 

 Gauss e di più l'analoga alla (23) 



D, T>\ 4- D"„ D, — 2D'« D'„ = 0 . 



La coppia di superficie applicabili 



gode dunque ancora della proprietà che le assintotiche dell'una si convertono 



sull'altra in un sistema coniugato, precisamente come la coppia iniziale S , S , 

 corrisponde a cr == 0 . 



Una superficie S della nostra classe (associata di una superfìcie appli- 

 cabile sulla sfera) ammette adunque una deformazione continua, dipendente 

 da un parametro e , durante la quale essa conserva sempre lo stesso carattere, 

 cioè ha sempre un' associata S 0 di curvatura K 0 = -f- 1 . E se si calcola 

 l'elemento lineare sferico rappresentativo di S a facilmente si vede che du- 

 rante la detta deformazione continua di S G l'associata S 0 applicabile sulla 

 sfera subisce una trasformazione continua di Lie-Bonnefc. Osserveremo ancora 

 che il sistema (immaginario) di linee geodetiche u±i v = cost si mantiene 

 sempre coniugato in questa deformazione. Nel caso particolare della defor- 

 mazione continua di una superfìcie d'area minima il sistema geodetico co- 

 niugato che si conserva è formato dalle linee di lunghezza nulla. 



