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che possono anzi essere incompatibili: ciò avviene per la (3 A ) e la (3 C ) 

 (la (3 A ) e la (3 C )) che danno Vi - A^t* == 0 , cosicché l'elemento lineare 

 delle superficie corrispondenti sarebbe degenere. Sia ora yt un punto descri- 

 vente una superficie, $ i coseni di direzione della corrispondente normale ('). 

 È allora 



- 2 O > tyl d \j , tf] — — 2 [y , dy~\ [dy,rf] — 2[y,dy-]\j,dr[] = — 2dydr ì 



Jn altre parole — 2 [y , o?y] d [y , ?;] è la seconda forma fondamentale della 

 superficie. Se ora kdu % + 2B dudv -\- Cdv ì è il quadrato dell'elemento li- 

 neare, essa diventa : 



o in altre parole se X; , Y { - , Z, sono i parametri, in un verso qualunque, 

 della normale e delle tangenti alle u = cost , v = cost (anche se B =j= 0) la 

 seconda forma fondamentale della superficie è: 



— 2 [Va rfx, + j/c rfx 2 J dx ; 



Questa semplice formula permette tosto di trovare le seconde forme fonda- 

 mentali delle nostre superficie. E si trova che esse sono 



(5) - ^ ^) ^ 2 + Ai ^) rfy2 + 



dove i segni superiori valgono per 2 A ,2 C , gli inferiori per 2 A , 2 C . 



Possono ora la X , fi , fi ì soddisfare contemporaneamente oltre che 

 alle (2) anche a due delle (3) ? Abbiamo già visto essere inutile combinare 

 le (3 A ) con le (3 C ), le (3 A con le 3 C ). Combinando la (3 A ) con la (3 A ) o 

 o con la (3c) otteniamo rispettivamente 



(AA) ^J/E.+'AJ/G^O ; X, ~ — fi ^ =t 2 (À, ^ - ty») = 0 

 (AC) A ^ = /*^ ; ^t/E+At/G±2(A ]ft -A^ 1 ) = 0 



(') Cfr. mia Mem. citata pag. 9 e seg. Io indico se ?/ì,Zì sono due quaterne di 

 variabili (i = 1 , 2 , 3 , 4) con [yz]j , [yz] 2 , [yz] 3 le {z%xj\ — £i.y 2 ) + — ^a^) ; (22#4 — z*.y%) 

 — 212/3) ; (z s y 2 — 2 2 y 3 ) + (z*y, — Ziy*). 



