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Le due superficie in discorso hanno perciò uguale in punti corrispon- 

 denti la curvatura media e perciò anche (essendo applicabili), i raggi di 

 curvatura. Esse sono una coppia di superficie di Bonnet nello spazio 

 ellittico ('). 



Viceversa, prese due superfìcie 2 k , 2 C applicabili con conservazione dei 

 raggi di curvatura, si prendano a linee coordinate u , v quelle tali che le loro 

 seconde forme fondamentali non differiscano che per il segno del coefficiente 

 di du dv ; l' ipotesi fatta dimostra tosto che le linee in discorso sono orto- 

 gonali ; le equazioni di Codazzi dicono subito che il coefficiente di du dv è 

 costante, p. es. uguale a ±1 e che le linee in discorso formano un sistema 

 isotermo. Scritte le forme fondamentali sotto la forma (6) , (7) si ricavano 

 tosto i valori di £ , D , D" e per le (6) anche di E , G ; si trova così una 

 superfìcie S riferita alle linee di curvatura per cui è soddisfatta la (I) (perchè 

 le equazioni di Codazzi e di Gauss relative si trovano tosto soddisfatte). E 

 questa superfìcie si può costruire per quadrature, essendone note le immagini 

 piane di Clifford (loc. cit. § 20) che coincidono con immagini delle super- 

 fìcie date. 



Noi potremo chiamare queste superfìcie per cui è soddisfatta (I) (quando 

 ci si riferisce alle linee di curvatura) superfìcie pseudoisoterme. E diremo 

 allora : 



Il problema di costruire le superficie pseudoisoterme dello spazio 

 ellittico e quello di costruire le coppie di Bonnet (coppie di superficie 

 applicabili con conservazione dei raggi di curvatura) nello stesso spazio, 

 sono problemi equivalenti. 



Alle superficie pseudoisoterme appartiene una classe notevole di su- 

 perficie, quelle cioè per cui la somma dei raggi ridotti Qi , q 2 di curva- 

 tura è uguale a 2 e a ognuna di esse corrisponde quindi una coppia di 



l/ E t/ Gr 



superficie di Bonnet. Infatti ponendo, in tal caso, 1 = - — , a x = - — le 



(2) , (3) risultano soddisfatte in causa dall' ipotesi fatta e delle equazioni 

 di Codazzi. 



A due superfìcie applicabili 2 k , 2 k tali che l'angolo destrorso delle loro 

 normali è costante, corrisponde evidentemente una superfìcie S tale che le 

 parallele alle sue normali tirate da un punto fisso P formano un angolo 

 costante e viceversa. La superfìcie S non sarebbe che un'evolvente di una sfera 

 col centro P. 



In generale si può dire che la ricerca delle coppie di superficie appli- 

 cabili con una proprietà prefissa qualsiasi è ricondotta alla ricerca di 

 una superficie dotata di una qualche speciale proprietà. 



(') Cfr. Bianchi, Sulle superficie a linee di curvatura isoterme. Rendiconti della 

 R. Acc. dei Lincei, fase. 11°, 2° sem. 1903. 



