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Studiamo ora il problema inverso e siano T , U due superficie applicabili 

 qualunque : in qual modo si potrebbero esse dedurre nel modo testé studiato da 

 una superfìcie S dello spazio stesso ? Distinguiamo varii casi : Nel caso a (ó) 

 le immagini di S coincidano con le destrorse (sinistrorse) di T , TJ. Nel caso 

 §(y) lè normali a S siano parallele rispettivamente nel verso destrorso e 

 sinistrorso (sinistrorso e destrorso) alle corrispondenti di T , U. 



Siano Xi , Y 8 - , Zj i parametri della tangente alla v = cost., (i— 1)., 

 della normale (i = 3) e della tangente perpendicolare a queste due rette 

 (i = 2) di T ; e siano Xf , ■ Y,- , Zj le quantità analoghe per U. Nel caso (a) (ó) 

 siano questi parametri destrorsi (sinistrorsi) ; nel caso § (y) siano destrorsi 

 (sinistrorsi) quelli calcolati per T e siano sinistrorsi (destrorsi) quelli di U. 

 Siano E du* + 2¥du dv+Gdv 2 l'elemento lineare, Ddu*-\-2 D'du dv + D"dv*, 

 D du 2 -j- 2 D' du dv -f - D"dv 2 le seconde forme fondamentali delle due super- 

 ficie T , U ; supponiamo che le u = cost., v — cost., siano assintotiche sulla 

 superficie S da determinarsi. 1 parametri di una normale a S sono X 3 , Y 3 , 

 Z 3 , X 3 , Y 3 , Z 3 . Per distinguere la superficie S dalle superficie parallele, 

 che hanno le stesse normali, osserviamo che l'angolo delle due parallele a 

 una retta r tirate da un punto P non dipende che dalla distanza da P a r. 

 Cosicché se S , 8' sono due superficie parallele e da un punto di S' tiro le 

 due parallele a una tangente di S nel punto corrispondente, l'angolo di 

 queste due rette non varia, mutando il punto e la tangente considerata. 

 Osserviamo ora le tangenti di S, che hanno per parametri destrorsi X t , Y 1 , Zi 

 e X 2 , Y 2 , Z 2 . I parametri sinistrorsi saranno X t = cos y> Xi -)- sen g> X 2 ecc. 

 e X 2 = — sen tp X) -j- cos <j> X 2 ecc., dove <p è un angolo qualunque, che io 

 dico costante. Infatti_il vertice del triedro, i parametri dei cui spigoli sono 

 (Xj , Yj , Zi , Xj , Y; , Zj) (si è posto X 3 = X 3 ecc.) genera una superficie S di 



cui (X 3 , Y 3 , Z 3 , X 3 , Y 3 , Z 3 ) è la normale soltanto se : 



1)U l>u l>v 7>y 



Ma essendo T , U applicabili è 



v v ~^Xi v ^ 7)Xi _ „ ~ò~Ki v vr ~dX t 



*b A. 2 — A 2 . A2 — jSl. 



~ÒU 1)U iv ~òv 



Le precedenti equazioni divengono perciò = = 0 , (f — cost. Questo 



angolo varia perciò soltanto di una costante additiva, passando dalla super- 

 ficie S a una delle parallele; e quindi, per l'osservazione precedente, noi 

 potremo scegliere tra queste superficie la S proprio in modo che y> = 0 . 

 Quale è ora la condizione, affinchè le linee coordinate siano proprio le assin- 

 totiche di S? Si verifica tosto che ciò avviene soltanto se: 



