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Sostituendo questi risultati nelle equazioni (1) si ricavano i valori di 

 u , v , w . Quindi, sostituendo i valori di u , v ,w , così ottenuti, nell' equa- 

 zione (2), riducendo il secondo membro della stessa equazione alla forma 

 di Kirchhoff (ciò è possibile per essere questo secondo membro una funzione 

 armonica, e lo scopo, del resto, si raggiunge subito applicando le più sem- 

 plici proprietà delle funzioni di Bessel), eguagliando da ambo le parti i coef- 

 ficienti di cos e di senvtp e poi facendo / = R, si trovano le equazioni 

 seguenti: 



(Q M^Jt 4 7r(yl + 2 ( «)J_ 30 '< 3^(itR) J„(à?B) J, +1 (rtR) X 



X f + <9 V (£) cos t(S -x)d$ = t-ttt ! <W + 



1 r"+°° 



'-1-00 



+ 4^J ^Jv(?7R) tfó 



00 — oo 



" ^V-m(£) +Wy+l( g) , W->-[{ì) — V<i-i(§) ~ 



Jv+i(^R) J,_!(^R) 



cost(£—x) d£Ì 



Le funzioni 0., soddisfano alle stesse equazioni salvo a mutare nel 

 secondo membro , t\ , «0m in zì v , Uv — Ws • Soltanto è da osservare cbe per 

 v = 1 il secondo membro è leggermente diverso, mentre, per v = 0, l'equa- 

 zione, pur rimanendo sempre dello stesso tipo, va leggermente modificata 

 ancbe al primo membro. 



3. Tutte queste equazioni sono del tipo 



t r+<x> r+<xi 

 (8) 6 (x) + — g>(t)dt\ e (£) cos t($ — x)d$ = f(x) 



dove ed /(#) sono funzioni note e 6(x) la funzione da determinare. 

 Inoltre, nel nostro caso <p{t), oltre essere reale, è pari e si annulla tanto 

 per t = -j- oo come per t = — co , come si trova subito considerando il 

 valore assintotico di J^(itU) che è 



P e™ , P <T RJ 



- per t = -j- oo e — - — — per t = — co 



t/27rR yt y^TiR yt 



Si proverebbe inoltre facilmente che 1 -j- g>(t) non si annulla mai al finito, 



mentre f(x), in seguito alle condizioni imposte alle « N Y«v ; si annulla 



all'infinito positivo e negativo di ordine maggiore di uno; ma, per brevità, 



sopprimiamo questa dimostrazione. 



Per determinare ora 6{x), moltiplichiamo ambo i membri della (8) 



1 cos£(£ — x) dt dì , , . , - . .«....<. 



per \ — ; 7-t , dopo aver cambiato in essa x m I , £ in §i , 



2n 1 -f- (p(() 



a 



