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Matematica. — Sopra la equazione di Kepler. Nota di T. Levi- 

 Civita, presentata dal Socio V. Volterra ('). 



1. Per e abbastanza piccolo, la equazione di Kepler 

 (1) u — esenw = £ 



definisce univocamente la u come funzione regolare della e e del parametro £. 

 Infatti la derivata del primo membro, rispetto ad «, 1 — e cos u non si 

 annulla per e = 0 . 



Lo sviluppo classico di u per potenze di e , fornito dalla serie di La- 



grange e 



,. . '('.#- e n d"- 1 sen n £ 



Y n ! dC n - 1 



Il raggio di convergenza di questo sviluppo dipende in generale da £• Quando 

 £ varia comunque sopra l'asse reale, esso ha un limite inferiore e x , notato 

 già da Laplace e stabilito con procedimenti rigorosi dal sig. Rouché ( 2 ). 

 Questo limite e x = 0,6627 risulta definito da 



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B l + E-' ' 



dove l è la radice (unica positiva) della equazione 



f(l) = — l(W — E"*) + W + E- 2 = 0 . 



(Per evitare ambiguità colla e si designa con E la base dei logaritmi 

 periani). 



Ciò posto, è chiaro che la serie sopra riportata resta convergente, per 

 tutti i valori reali di f, solo sotto la condizione Ma, pur variando 



comunque £ nel campo reale, la funzione u[e , £), definita dalla (1), è rego- 

 lare rispetto ad e in un campo T (veggasi la figura) maggiore del cerchio 

 \e\ = e x e comprendente in particolare tutti i punti del segmento (0,1). 



La ricerca — abbastanza elementare per verità — dei limiti di questo 

 campo conduce naturalmente ad una rappresentazione analitica della fun- 

 zione u, valida per tutti i punti del campo stesso. In modo preciso si ha 

 il seguente semplicissimo risultato: 



(') Presentata nella seduta del 6 marzo 1904. 



( 2 ) Sur la sèrie de Lagrange, Journal de l'École Polytechnique 39 e Cahier, 1862. 

 Cfr. Hermite, Cours d'analyse, 19 e Lecon; oppure Tisserahd, Mécanique céleste, T. I, 

 Chap. XVI. 



