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La funzione u di e J definita dalla equazione di Keller è sviluppabile 

 (per qualunque valore reale di £) in serie di potenze dell'argomento 



,. _ ,tE^ 



'' i + ? i^7* 



(intendo pel radicale la determinazione, che si riduce all' unità per e = 0). 



B 



La serie converge entro il cerchio = 1 , cui corrisponde nel piano e 

 l'intero campo di regolarità r della funzione u . 



Come si vede, l'argomento rj si annulla per e = 0 e cresce, per valori 

 reali, da 0 ad 1 , assieme ad e . Gli sviluppi procedenti per potenze di rj 

 presentano perciò, oltre al vantaggio della incondizionata validità per qual- 

 siasi orbita ellittica, la stessa convenienza numerica degli sviluppi abituali, 

 procedenti per potenze di e. 



2. Il ramo della funzione u di e, definito senza ambiguità dalla (1), 

 nell'intorno dell'origine 0, resta certamente uniforme e regolare finché non 

 si annulla 



1 — e cos u . 



Ne viene che, procedendo da 0 , nel piano e , lungo una linea qualsiasi, la 

 regolarità di u può cessare, e cessa effettivamente (i corrispondenti valori 

 di e essendo per la u punti critici di indice 2) solo quando sussistano insieme 



