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Per r <. 1, si ha 1 1 — r|=l — t e la (7) è senz'altro soddisfatta. Infatti 

 il primo membro si annulla per t = 0, e cresce poi con t, perchè la de- 

 rivata 



t(E^ — E -T ) 



è sempre positiva. 



Se invece r>.l , |1 — t\ = t — 1, e la (7), ponendo ancora 



/(t) = - rfE* - E-*) + (E T + E-T) , 



si scriverà 



(7') f{r) >0. 



La derivata 



/'(*) = - t(E t + E-) 



è negativa per r positivo, la f va dunque decrescendo. Essa è positiva per 

 t = 1 , negativa per r = 2 ; si annulla quindi per un valore intermedio l . 

 Perciò la (7') riesce soddisfatta fra 1 e l, ma cessa di esserlo oltre l, 

 in quanto la /, seguitando a decrescere, diventa e si mantiene negativa. 



La equazione f(l) = 0 è quella stessa, che si incontra cercando il mi- 

 nimo raggio di convergenza (per £ reale) dello sviluppo di u in serie di 

 potenze di e. Il valore numerico della radice l è 1,9967. 



Messo in chiaro che sono da considerare soltanto valori di r, compresi 

 fra 0 ed l, mostriamo reciprocamente che ad ognuno di essi corrisponde 

 uno ed un sol punto Q del primo quadrante. 



Il modulo q è, come si è visto, determinato senza ambiguità dalla (5). 

 Quanto all'argomento abbiamo le (3) e le 



sen(# + co) = =£ E T j/N , sen(# — co) = =t E -T |/N , 



che ne sono necessaria conseguenza in virtù delle (5), (6). Portando questi 

 valori nella (4) si riconosce che i radicali vanno presi con segno opposto, 

 e con ciò la (4) stessa rimane identicamente soddisfatta. 

 Essendo poi 



cos 2^ = cos(# -j- co) cos(# — co) — sen(# -4- co) sen(# — co), 

 ricaviamo in definitiva 



(8) cos2^ = — — + N = -r + ~ = 1— gT* + -, 



la quale determina univocamente un angolo 2# non maggiore di due retti, 

 e quindi uno ed un solo angolo # del primo quadrante. 



Le considerazioni precedenti ci assicurano che, al variare di t fra zero 

 ed l , il secondo membro della (8) rimane compreso fra — 1 e -f- 1 . Se 



