Al convergere di r a zero, si ha 



sen# 1 

 Q = l , lim — i - = — (i), 



T=0 * 2 |/3 



e per conseguenza tg a = — 1/3 , 



La tangente in A (nel verso AB) è dunque inclinata sulla direzione 

 positiva dell'asse x di 120°, cioè sulla AO di 60°. La tangente in B è 

 invece parallela all'asse x. 



Se ora si riflette l'arco di curva AB negli altri tre quadranti, si ottiene 

 (cfr. la figura) una curva chiusa y, che ha in A e nel suo simmetrico A' 

 due punti angolosi di apertura 120°, mentre c'è perfetto raccordo in B e B'. 



La curva y costituisce il contorno completo del campo di regolarità T 

 della nostra funzione u, poiché ogni punto Q di y è effettivamente singo- 

 lare per qualche valore reale del parametro f . Risulta infatti dalle prece- 

 denti considerazioni che ad ogni Q corrispondono due valori eguali ed op- 

 posti di r e di od, per i quali coesistono le (1) (2) (con £ reale). I primi 

 sono univocamente determinati, i secondi ameno di multipli di 2>n. La (1) 

 stessa poi (essendo u = a> -\- ix) coordina ad ogni punto Q due valori reali 

 di £, eguali ed opposti (e i loro congrui rispetto a 2tt). 



4. La funzione u di e (ritenuto £ comunque variabile nel campo reale) 

 è regolare entro F, e non oltre. Secondo i principi della teoria delle fun- 

 zioni, la naturale espressione analitica di u in r è quella di una serie di 

 potenze del parametro rj(e), che realizza la rappresentazione conforme di r 

 sopra un cerchio di raggio 1. 



Nel caso presente la determinazione di rj è pressoché immediata. 



Ricordiamo infatti che in ogni punto Q del contorno y di r valgono 

 ad un tempo le (1), (2). Dalla (2) si ha 



e sen u = \/e* — 1 = iyl 

 con che la (1) può essere scritta 



e la (2) stessa 



u — £-\-i\/l — e 



p. 



E iM = 



1+^1. — ^ 



Sostituendovi per u il suo valore £ i ^1 — e 2 , se ne ricava 



E* 



1 + l/l — ^ 



(') Questo risulta subito dalla (8), in quanto 



sen- & — = - r* -f- 



Ci O 



