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da cui 



X = — X" + 2ah , Y = — Y" + 2/?A , Z = — Z" + 2yh 

 h = aX + /SY + yZ = «X" -f- /?Y" + yZ" 



E invece dalle due relazioni (7) troviamo 



«(X - X") + /?(Y - Y") + y(Z-Z') = 0 

 1 j A(X + X") + ,«(Y + Y")-j-r(Z+Z") = 0 



da cui parimenti eliminando X , fi ,v si ritrovano le relazioni che legano le 

 coordinate di un punto a quelle del suo punto antisimmetrico. 



Ora se confrontiamo le relazioni (7) (7') colle (3) (3') vediamo che esse 

 sono rispettivamente della stessa forma. Possiamo quindi enunziare le pro- 

 prietà precedentemente esposte riguardo a due sistemi di spostamenti otte- 

 nuti per riflessione sopra un piano, dicendo che sopra questo piano esistono 

 fra le componenti di spostamento le reiasioni di simmetria e fra le com- 

 ponenti delle pressioni corrispondenti le relazioni dell' antisimmetria ri- 

 spetto al piano parallelo passante per l'origine. 



Vediamo ora come si possano rappresentare in generale gli spostamenti 

 riflessi in funzione degli spostamenti dati u(x ,y ,z) , v(x ,y,z), w(x ,y,z). 



Poniamo 



Ui = u(x' , y' , z) , Vi = v{x , y' , /) , w x = io(x' , y' , *') 



dove con x , y' , &' intendiamo le coordinate del punto simmetrico di x , y , z 

 rispetto al piano (4), cioè 



x — x — 2as , y =y — 2/95 , £-<== z — 2ys 

 s = ax -f- §y -j- yz — 6 . 



Avremo allora 



u = ili — 2a (au,. -f- /?yj -f- ywi) 

 v — Vi — 2/? (aiti + ~\~ Y w \) 

 w = w x — 2y (aui -f- (ÌVi -4- ywi) 



e queste sono le forinole cercate, dalle quali reciprocamente si possono im- 

 mediatamente ricavare le relazioni (3) valide per s = 0. 



Dalle (3') poi risulta che le relazioni che esistono fra le componenti 

 delle pressioni sul piano s = 0 , si possono porre sotto la forma 



V = — L -f 2«(«L + /?M + yN) 

 M' = — M + 2/3 («L -f- £ M + yN) 

 N' = — N + 2y(aL 4- /?M + yN) . 



3. Richiamate così sotto forma più generale le proprietà che già avevo 

 dimostrate nella Nota più volte citata, possiamo proporci di cercarne le ap- 



