plicazioni alla risoluzione di problemi d'equilibrio per corpi limitati da piani. 

 I risultati già ottenuti ed esposti nella Nota indicata e la -teoria delle di- 

 visioni regolari dello . spazio ci permettono di prevedere facilmente i risul- 

 tati, a cui si arriva. Difatti i campi, pei quali risultava risoluto il problema 

 statico, erano campi appartenenti a casi speciali di divisioni regolari dello 

 spazio, mediante piani. 



È quindi naturale di cominciare a considerare il caso di un campo 

 qualsiasi appartenente ad ima divisione regolare dello spazio mediante piani 

 passanti per un punto. In seguito, si potranno poi considerare anche divisioni 

 dello spazio mediante piani qualsiasi ('). 



. Supponiamo dunque di avere un gruppo simmetrico di n piani di una 

 stella, tali cioè che costruendo per riflessione le immagini di n — i piani 

 del' gruppo rispetto al rimanente, il sistema rientri sempre in sè stesso. 

 Come è noto tali sistemi si ottengono considerando i piani di simmetria dei 

 poliedri regolari e danno le divisioni regolari di una superficie sferica, che 

 abbia il centro nel centro della stella, cioè dividono la superficie stessa, in 

 poligoni congruenti o simmetrici. Lo spazio risulta parimenti diviso in un 

 certo numero di angoli solidi uguali o simmetrici. Noi ci proporremo di 

 studiare col metodo delle immagini la deformazione, di uno degli angoli So- 

 lidi così determinati, supponendo che sia costituito da materia isotropa od 

 avente per piani di simmetria i piani stessi del gruppo. 



Scelto ad arbitrio nell' interno di uno di questi angoli solidi Sì y un punto 

 Mi , costruiamone le immagini rispetto a tutti i piani del gruppo, e così 

 procediamo poi rispetto a ciascuna di queste immagini. Otterremo un gruppo 

 finito di un numero pari di punti che indicheremo con 2m. Supponiamo di 

 aver costruito successivamente in un certo ordine tutte queste immagini par- 

 tendo da M x . Ciascuno degli angoli solidi, considerato insieme al punto che 

 in esso si trova, costituisce una figura congruente o simmetrica alla primi- 

 tiva che indicheremo con ^ (Mj) ; sarà uguale se ottenuta con un numero 

 pari di riflessioni, simmetrica nel. caso opposto. 



Perciò indicando con numeri 1,2, ... 2m le successive riflessioni nell'or- 

 dine indicato, saranno 



•&i(Mi) , Ì2 3 (M 3 ) , . . . > 

 angoli solidi congruenti, e 



£ 2 (M 2 ) , Ì2 4 (M 4 ) ... £ì 2m (ìd 2m ) 



angoli solidi simmetrici. 

 Siano ora 



u y = u{x , y , s) , v'i == v{x ", y , s) , w\ = w(-x , y , z) 



(') Circa la teoria generale delle divisioni regolari dello spazio cfr. Schoflies, Kry- 



stailsysteme und Krystallstructur; Elein, Vorlesungen iiber das Ikosaeder. '. . 



