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che potremo parimenti supporre dato in tutto lo spazio. Colla composizione 

 di questi due, noi possiamo costruire i due nuovi campi 



U' = M l + U 2 , V = V x -\- V 2 , W = Wi -f- w 2 



U" — Ui — u 2 , V" ==Vi — v 2 , W" ~w x — w 2 



nei quali i vettori corrispondenti a due punti simmetrici rispetto al piano 

 z — 0 hanno fra loro relazioni assai semplici. Di fatti, cambiando z in — * 

 in IT , V , W restano inalterate U',V mentre W cambia di segno. Perciò, 

 se noi immaginiamo costruito in ogni punto dello spazio il vettore che gli 

 appartiene, coll'origine nel punto stesso, avremo che, nei punti simmetrici 

 rispetto al piano z = 0, i vettori (U',V',W) saranno simmetrici l'uno 

 dell'altro rispetto allo stesso piano. Il campo si potrà dire un campo vetto- 

 riale simmetrico rispetto al piano & = 0 . 



Se invece cambiamo z in — z nelle U", V", W" cambiano di segno 

 U", V", resta immutata W". Il vettore nel punto simmetrico si otterrà in- 

 vertendo il senso del vettore che si aveva nel caso precedente. Un tal vettore 

 si potrà chiamare antisimmetrico del vettore corrispondente al punto {x,y,z) 

 rispetto al piano z = 0, ed il campo (U", V", W") si dirà un campo vet- 

 toriale antisimmetrico rispetto al piano medesimo. 



È chiaro poi che, per ragioni di simmetria e come risulta dalle forinole 

 precedenti, in un campo simmetrico il vettore nei punti del piano di sim- 

 metria dovrà essere diretto parallelamente al piano stesso, e dovrà invece 

 essere normale al piano in un campo antisimmetrico. 



Gli integrali che noi abbiamo dapprima considerato per le equazioni 

 dell'equilibrio elastico possono appunto considerarsi come rappresentanti campi 

 vettoriali aventi un piano di simmetria o di antisimmetria, in cui il vettore 

 è dato dallo spostamento. 



Considerando poi dei gruppi più complessi di integrali, come abbiamo 

 visto, si possono costruire mediante somme o differenze degli integrali del 

 gruppo, dei nuovi integrali i quali hanno per piani di simmetria o di anti- 

 simmetria i piani di un gruppo simmetrico di piani. 



I campi vettoriali corrispondenti hanno quindi come piani di simmetria 

 o di antisimmetria tutti i piani del gruppo. Noi li diremo simmetrici od 

 antisimmetrici rispetto al gruppo di questi piani. 



In ciascuno di tali piani il vettore giace nel piano stesso nel caso della 

 simmetria ed è invece normale nel caso dell' antisimmetria. Sono queste 

 appunto le proprietà che stanno a base della applicazione di questi campi 

 alla integrazione delle equazioni d'equilibrio. 



Per dare un'idea più completa della distribuzione dei vettori aggiun- 

 giamo due figure, nella prima delle quali abbiamo rappresentata la posizione 

 del vettore nei sei punti di un gruppo determinato da tre piani di simmetria 



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