— 860 — 



Per trovare effettivamente le oo 4 superficie trasformate di una data iso- 

 terma S occorre per altro integrare un sistema di equazioni ai differenziali 

 totali lineare ed omogeneo in cinque funzioni incognite delle due variabili 

 indipendenti u , v (coordinate curvilinee). Della integrazione di questo sistema 

 poco si poteva dire fino ad ora (') salvo che, una volta integrato il sistema 

 per una superfìcie isoterma data S, risultava insieme integrato il sistema 

 analogo per ogni superficie derivata dalla S combinando le inversioni per raggi 

 vettori reciproci colla trasformazione di Christoffel. Per le inversioni la cosa 

 è evidente, poiché ogni inviluppo di sfere della specie considerata ne viene 

 cangiato in un altro tale inviluppo ; e lo stesso risulta per la trasformazione 

 di Christoffel dalla sua permutabilità colle trasformazioni di Darboux (cfr. più 

 avanti n. 5). 



Ora già da tempo io pensavo che per le generali trasformazioni di Dar- 

 boux delle superficie isoterme dovesse valere un teorema di permutabilità 

 affatto analogo a quello da me trovato nel 1892 per la teoria delle trasfor- 

 mazioni di Bàcklund delle superficie pseudosferiche, teorema che mi ha per- 

 messo di semplificare questa teoria risparmiando persino le quadrature prima 

 necessarie per la successiva applicazione delle trasformazioni. 



Essendomi dapprima accertato, mediante considerazioni geometriche sui 

 teoremi di Guichard, che la supposta proprietà aveva luogo in estesi casi 

 particolari, ho intrapreso ora i calcoli per le trasformazioni generali delle 

 superficie isoterme ed ho trovato in effetto che anche qui vale un teorema 

 di permutabilità, mediante il quale una volta integrate le equazioni di Dar- 

 boux per una superficie iniziale S, l'applicazione delle trasformazioni di 

 Darboux alle nuove superficie derivate non richiede più altro che calcoli 

 algebrici e di derivazione. Per tal modo viene ad un tratto portata la teoria 

 di queste trasformazioni al punto stesso di perfezionamento di quella delle 

 trasformazioni delle superficie di curvatura costante. Ed applicando questi 

 risultati a quelle classi di superficie isoterme dalle quali Darboux ha fatto 

 dipendere la deformazione delle quadriche generali, è facile prevedere che 

 si potrà portare ormai la teoria delle superficie applicabili sulle superficie 

 generali di secondo grado al medesimo punto di sviluppo che ha recente- 

 mente raggiunto quella delle superficie applicabili sulla sfera. 



Nella presente Nota mi limito a far conoscere le forinole relative al- 

 l' indicato teorema di permutabilità ; le dimostrazioni, con ulteriori sviluppi, 

 prenderanno posto in più ampio lavoro. 



(') Ecco le parole testuali di Darboux (Annales 1. e, pag. 503): Tout ce que je 

 puis dire à ce sujet, c'est que lorsque cette intégration aura été faite pour une surface 

 isothermique donuée, elle le sera par cela rnéme pour toutes celles, en nombre infini, 

 qu'on peut en faire dèriver par V application indéfiniment prolongée de la méthode de 

 recurrence que fai donnée aux n. os 434, 437 de mes Lecons. 



