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2. Cominciamo da alcune considerazioni generali relative agli inviluppi 

 di sfere sulle cui falde si corrispondono le linee di curvatura. Data una 

 qualunque superfìcie S, la ricerca di tutti gli inviluppi di sfere della detta 

 specie per i quali S è la prima falda dell'inviluppo, dipende, come si sa, 

 dall'integrazione di un'equazione a derivate parziali lineare del 2° ordine 

 l'equazione del Cayley relativa alla superfìcie S . Tale ricerca essendo iden- 

 tica a quella dei sistemi ciclici di Ribaucour normali alla S, diremo che 

 la seconda falda Si dell'inviluppo è derivata dalla prima S per mezzo di 

 una trasformazione di Ribaucour. 



Ciò posto, ecco un teorema generale di permutabilità che vale per tutte 

 le trasformazioni di Ribaucour: 



Se di una superficie S si considerano due diverse trasformate di 

 Ribaucour Si , S 2 , esiste un'intera serie oo 1 di superficie 2, ciascuna delle 

 quali è legata come la S alle due superficie fisse S t , S 2 da due trasfor- 

 mazioni di Ribaucour. Note S,S 1? S 2 , la ricerca di questa serie oo 1 di 

 superficie 2, contenente S, dipende da una quadratura. 



Senza trattenermi a dare le forinole effettive per questo teorema, osser- 

 verò soltanto che la sua dimostrazione può trarsi da quella del teorema di 

 permutabilità dimostrato al § 248 delle mie Lezioni di geometria diffe- 

 renziale (voi. II, pag. 71) per le congruenze rettilinee W. Basta infatti 

 applicare la trasformazione di contatto di Lie che cangia le rette in sfere 

 e quindi una congruenza rettilinea W in un inviluppo di sfere, sulle cui 

 falde si corrispondono le linee di curvatura. 



Suppongasi ora in particolare che nel teorema precedente le coppie di 

 superfìcie (S,Si) , (S , S 2 ) siano isoterme e l'una superficie in ciascuna 

 coppia sia dedotta dall'altra con una trasformazione di Darboux. Allora fra 

 le oo 1 superficie 2, di cui è parola nel teorema superiore, ve ne ha, oltre S, 

 una ed una soltanto (distinta in generale da S) che è legata nuovamente 

 ad Si , S 2 da due trasformazioni di Darboux ; la determinazione di questa 

 quarta superficie isoterma S si ottiene in termini finiti. In questo risultato 

 consiste il teorema di permutabilità per le trasformazioni di Darboux, che 

 andiamo ora ad enunciare in termini più precisi dando in pari tempo le 

 forinole effettive per le nuove trasformazioni. 



3. Indichiamo con S una superficie isoterma qualunque, riferita alle 

 sue linee di curvatura (u , v), ed abbiasi pel suo elemento lineare 



ds* = e 2 \du 2 + dv 2 ). 



Colle solite notazioni del mio libro, indichiamo : con ri , r 2 i raggi 

 principali di curvatura di S , con x ,y , z le coordinate di un punto M mo- 

 bile su S e con 



(X| , Y L , Zi) , (X 2 , Y 2 , Z 2 ) , (Xj , Y 3 , Z 3 ) 



