(A) 



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i coseni di direzione dei tre spigoli del triedro principale col vertice in M , 

 diretti rispettivamente: 1° secondo la tangente alla linea y = cost; 2° se- 

 condo la tangente alla — cost; 3° secondo la normale alla superficie. 



Per trovare una trasformata di Darboux della superficie isoterma S 

 occorre anzitutto integrare il seguente sistema lineare omogeneo di equazioni 

 ai differenziali totali in cinque funzioni incognite di u\, v , che indichiamo 

 con £ , rj , d> , W , <r : 



— = me* e 4- me 6 (P — — W — — v , — *•■== — £ , 



liu r 2 Dv ' ~òu ~òv 



— = — € , — = e 6 £ , — = ér 9 £ , 



1)6 ~*V « « ^ e 9 _ ìd . 



— = — ri , — - = e — me~ s <t> — — W — — £ , 

 7)y ì% r x ~òu 



W _ 6^ ^ _ e , -e 

 7)w ~~ ^ ' ' ~ 6 r; ' 7)u _ ~~ 6 ' ' 



indicando qui m una costante (arbitraria). Il sistema (A) è illimitatamente 

 integrabile e possiede l' integrale quadratico 



£ 2 + ?j 2 -f W 2 — 2 w(P = cost . 



Per avere una trasformazione di Darboux conviene disporre dei valori 

 iniziali (del resto arbitrarli) di £ , rj , W , <P , a in guisa che la costante del 

 secondo membro nella formola superiore si annulli, e si abbia quindi 



(B) £ 2 +/^ + W 2 =2to<P<t. 



Se si conoscono cinque funzioni £ , ?? , W , $ , <r , che soddisfino il sistema 

 differenziale (A) e l'equazione (B) in termini finiti, ne risulta definita una 

 seconda superfìcie isoterma Si , trasformata di Darboux della S , data me- 

 diante le forinole: 





1 



X — 



ma 



y — 



1 



ma 





1 



z — 



no 



(1) ^ = y - — -f- ??Y 2 -f WY 3 ) 



Diremo allora che la superficie isoterma S t deriva dalla S mediante una 

 trasformazione D m di Darboux, ponendo in evidenza il valore (essenziale) 

 della costante m. 



Ciò premesso, ecco come si enuncia precisamente il teorema di permu- 

 tabilità per le trasformazioni di Darboux: 



