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Se dalla superficie isoterma S si ol tengono due nuove superficie iso- 

 terme S! , S 2 mediante le trasformazioni di Darboux D Ml , D m , a costanti 

 m^m-z differenti, esiste ima quarta superficie isoterma S, pienamente 

 determinata e costruibile in termini finiti; che è legata alla sua volta 

 alle medesime superficie S x , S 2 da due trasformazioni di Darboux D mì , D m , 

 colle costanti invertite m 2 ,m x . 



Si osservi che, indicando con P , P, , P 2 , P quattro punti corrispondenti 

 di S , Si , S 2 , S , si hanno quattro sfere 



che toccano rispettivamente 



(S , SO in P,P, ; (S,S 2 ) in P,P 2 

 (S.SO in P,Pi ; (S,S 2 ) in P,P 2 . 



Ciascuna di queste quattro sfere genera un inviluppo le cui due falde isoterme 



(S,Si) , (S , S 2 ) , (S , Si) , (S , S 2 ) 



si corrispondono in rappresentazione conforme. 



Diamo ora le effettive forinole relative alla quarta superficie. Indichiamo 

 per ciò i valori delle funzioni trasformatrici £ , rj , W, Q> , a nel modo seguente : 



con , rj x , Wj , £>! , pel passaggio da S a Si (per la D TO) ) 



" h , y.z , W 2 , <P 2 , , <r 2 » fi da S a S 2 (per la D m . 2 ) 



» Fi , rj x , W, , <P 1 , Ci « » da Si a S (per la D m .J 



» £2 , ij 2 , W 2 . <2>o , a 2 » » da S 2 a S (per la D Wl ). 



Le prime dieci funzioni si assumono come note; e le dieci nuove funzioni 

 Ìì,^ì 1 Wi , ®i , Cj (/ = 1 , 2) si esprimono allora per le prime colle forinole 

 seguenti. Ponendo 



&i = £i f 2 + iyi ry 2 -j- Wi W 2 — OT 2 (C, <P 2 C 2 0),) 

 ^ = £i £2 + ^ 2 + W, W 2 - w,(o-i <J) 2 + ff 2 £>,) 



(2) 



si ha: 



_ t _ r , 



- £i = /T> ' #i + (m t — mf) £ 2 , r h = — ± — -\- (m 2 — mf) ??, , 



(3 ) <| W^-^-fi.-j-^-mOW, , + 



c, == 1 &x + (w 2 — mO <r, 



- h =- -zìt— £ 2 + (w, — m 2 ) £ , , /; 2 = £ 2 -f (m, — w 2 ) ?j 2 , 

 (3*) <; W 2 = -^ r ^ 2 + (mi-w 2 )W 2 , ^ 2 --^--Q 2 + (wi-w 2 )<P 2 



tfo C 2 V 2 C 2 



<r 2 = 2 £ 2 + (mi — w») c 2 



