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Queste semplici forinole di composizione racchiudono, come si vede, una pro- 

 prietà analitica alquanto riposta delle soluzioni dei sistemi lineari (A) di 

 Darboux, proprietà dedotta così per via geometrica. 



Le forinole poi che fanno conoscere, in termini finiti, la quarta super- 

 ficie S del teorema di permutabilità sono le seguenti: 



Vii — — YYÌ 



(4) x = x + ^ mz * Km, £ 2 - m 2 <P 2 f 0 X, + 



+ (m, a>! ì) t — m 2 d> 2 tji) X 2 -f- (m l 0^ W 2 — m 2 <P S W,) X 3 f , 



colle analoghe per y y z , avendo posto 



V = £i ^ + fi f ? + Wj W 2 — mi (P l c 2 — m 2 <P 2 tf x . 



Osserviamo che nel caso escluso ove le costanti m x , m 2 si facciano 

 eguali, le forinole (3), (3*) ci dimostrano che si hanno le proporzioni 



— ìi '-Vi : tf, = J, : r ;i : W x : <!>, : a, 



— F 2 :^ 2 :W 2 :# 2 :tf 2 = £ 2 :ry 2 :W 2 :4> 2 :o- 2 ; 



allora la quarta superficie S del teorema di permutabilità viene a coinci- 

 dere colla primitiva S . La stessa cosa risulta immediatamente dalle (4). 



4. Del teorema di permutabilità per le trasformazioni di Darboux pos- 

 sono ora trarsi per la successiva applicazione di queste trasformazioni, le 

 medesime importanti conseguenze come dall'analogo teorema per le trasfor- 

 mazioni di Bàcklund delle superficie pseudosferiche ('). 



Il risultato principale può enunciarsi così: 



Se per una data superficie isoterma S si sa integrare completamente 

 il sistema lineare (A) di Darboux,, per ogni valore della costante m J 

 l'integrazione degli analoghi sistemi lineari per le nuove superficie deri- 

 vate da S con una trasformazione di Darboux, si effettuerà senz'altro 

 in termini finiti; e l'applicazione successiva ed illimitata delle trasfor- 

 mazioni di Darboux alle nuove superficie non richiederà più altro che 

 calcoli algebrici e di derivazione. 



Per citare un effettivo esempio in cui di una superficie isoterma S sap- 

 piamo trovare tutte le trasformate di Darboux, basta riferirsi al piano (o alla 

 sfera) su cui un qualunque sistema doppio ortogonale isotermo venga asssunto 

 come quello delle linee di curvatura. Ove si prenda il detto piano come 



(') Cfr. Lezioni, § 385 (voi. II, pag. 416;. 



