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piano limite di una metrica non -euclidea per imo spazio di curvatura co- 

 stante K 0 = — — , le superficie trasformate del piano non sono altro che 



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quelle a curvatura media costante = - dello spazio iperbolico, già consi- 



K 



derate in una mia antica Memoria del 1888 negli Atti di qnesta Acca- 

 demia ('), e di cui poi diedi le equazioni in termini finiti in un lavoro 

 inserito negli Annali di matematica ( 2 ). Anche il sig. Thybaut si è occupato 

 di queste superficie nel tomo XVII (3 ème Serie) degli Annales de l'École 

 Normale (1900). 



Applicando ora i risultati del teorema di permutabilità a queste super- 

 ficie isoterme, potremo dedurne, senza alcun calcolo d'integrazione, infinite 

 nuove superficie isoterme colle trasformazioni di Darboux. 



5. Ogni superficie isoterma S ne determina, secondo Christoffel, una 

 seconda coniugata S 0 corrispondente punto per punto alla S per parallelismo 

 delle normali, in una rappresentazione conforme. Questa coniugata S 0 si ha 

 con quadrature dalla S mediante le forinole 



~òX a _ -26 ~ÒX ~ÒX 0 _ _ 2 6 ~òCC_ 



~ÒU ?M ' ~ÒV 7'V 



e le analoghe per y 0 , z 0 . Diremo che si passa dalla S alla S 0 per mezzo 

 della trasformazione (involutoria) di Christoffel. Ora se per la superficie 

 isoterma S conosciamo un sistema di soluzioni 



del sistema (A) , (B) , i valori 



fo^ £ , r JO = — r] , W 0 = W , #0 = <r , ff 0 = <t> 



danno un sistema di soluzioni dell'analogo sistema (A„) , (B 0 ) costruito per 

 la S 0 , ferma rimanendo la costante m. Ciò dimostra che la trasformazione 

 di Christoffel cangia ad un tempo le due falde S , S x di un inviluppo di 

 sfere di Darboux nelle due falde di un nuovo inviluppo di sfere della me- 

 desima specie; in altre parole: 



La trasformazione di Christoffel è permutabile colle trasformazioni 

 di Darboux. 



È chiaro ora che applicando simultaneamente a quattro superficie iso- 

 terme S,Si,S 2 ,S, che stiano fra loro nella relazione del teorema di per- 

 mutabilità, la trasformazione di Christoffel, si otterranno quattro nuove super- 



(') Sulle superficie d'area minima negli spazi di curvatura costante. Memorie, 

 voi. IV, ser. 4\ 



( 2 ) Alcune ricerche di geometria non -euclidea. Ser. 3 a , t. II, 1898. 



