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ficie nella medesima relazione fra loro. Così pure evidentemente ogni inversione 

 per raggi vettori reciproci avrà sopra S , Si , S 2 , S un effetto analogo. 



6. Consideriamo ora alcuni casi particolari notevoli del teorema di per- 

 mutabilità. 



Se la superfìcie S è ad area minima, si può particolarizzare la trasfor- 

 mazione di Darboux in guisa che anche la derivata Si sia ad area minima, 

 nel qual caso la superfìcie luogo dei centri della sfera 2 l è applicabile sul 

 paraboloide di rotazione di parametro = m (1° teorema di Guichard). Per 

 ottenere questa particolare trasformazione basta fare <r = W nelle formolo (A). 



Suppongasi ora che tanto S quanto Si , S 2 siano ad area minima e si 

 abbia per ciò 



tfi = W, , <r 2 = W 2 . 

 Dalle formole (3) , (3*) segue allora 



ó-, = W, , a 2 = ~W 2 , 



e per ciò: Se tre delle superficie S , Si , S 2 del teorema di permutabilità 

 sono ad area minima, anche la quarta S è una superficie minima. 



In tal caso le quattro superfìcie luogo dei centri delle quattro sfere 2 

 sono applicabili sul paraboloide di rotazione e precisamente quelle descritte 

 dai centri di 2^ , 2 Z sul paraboloide di parametro m x , e quelle luogo dei 

 centri di 2 2 , 2 X sul paraboloide di paramotro m 2 . 



Se dalle quattro superfìcie minime 



S , Si , S 2 , s 



passiamo alle loro coniugate in applicabilità, queste possono situarsi nello 

 spazio in guisa che formino le quattro falde di quattro congruenze retti- 

 linee W di Thybaut ('). Si ha così un teorema di permutabilità per le con- 

 gruenze di Thybaut affatto analogo a quello delle congruenze pseudosferiche. 

 Ritornando al teorema di permutabilità per gli inviluppi di sfere, possiamo 

 sostituire alle superfìcie d'area minima superficie di curvatura media costante 

 (non nulla) ed abbiamo così il teorema: 



Se da una superficie S di curvatura media costante passiamo con 

 due trasformazioni di Darboux ( Guichard) a due nuove superficie Si , S 2 

 colla stessa curvatura media, anche la quarta superficie S del teorema 

 di permutabilità presenta la medesima curvatura media costante. 



Qui le superfìcie luoghi dei centri delle sfere saranno applicabili sopra 

 l'ellissoide o sull' iperboloide (a due falde) di rotazione. È manifesto che 

 così abbiamo il teorema di permutabilità per quelle trasformazioni delle 

 superfìcie di curvatura costante positiva che ho dedotto dall' inversione dei 



(') Lezioni, voi. II, pag. 334. 



