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si presenti invece estremamente difficile il problema inverso, di decidere 

 « se una curva data /, contenga (per n assai grande) delle g' n il cui gruppo 

 abbia certe particolarità di struttura, p. es. sia composto ed abbia per fat- 

 tori di composizione dei numeri primi ecc. *. 



Una sola cosa (come ebbi occasione di avvertire) è tosto visibile; che 

 una g' n composta con una involuzione y' s (razionale o nò) ha gruppo impri- 

 mitivo e viceversa; cioè ogni funzione algebrica ad n rami 



X = ce (() 



il cui gruppo sia imprimitivo, si compone con una funzione algebrica 



x = x (t) 



avente un certo numero di rami divisore di n, e colla 



avente n j s rami. Aggiungasi che, se la curva fondamentale / è a moduli ge- 

 nerali e di genere p^> l , essa non contiene involuzioni irrazionali, e quindi 

 è t funzione razionale di x ('). 



A questo ordine di questioni reca un contributo la presente Nota, nella 

 quale viene stabilito il teorema : 



II gruppo di monodromia di una funzione algebrica x(t) appartenente 

 ad una data superficie di Riemann (cioè il gruppo di una g' n t {xy) = cost. 

 sopra una curva f(x,y) — 0) è sempre il gruppo totale, se la funzione x(t) 

 (e la serie g'„) non è composta, e se essa ha qualche punto di diramazione 

 semplice. 



Di qui si ottiene subito una facile dimostrazione del teorema di 

 Kneser ( 2 ) : 



Se sopra una qualsiasi superficie di Riemann (curva) f(xy) = 0, 

 si costruisce la funzione razionale 



t = ax -{- by , 



corrispondente a due valori generici di a , b , il gruppo di monodromia 

 della funzione algebrica x(t) è sempre il gruppo totale. 



2. Sopra una curva irriducibile f(xy) = 0 si consideri una serie lineare 

 g' n rappresentata dall' equazione 



t [xy) — cost. 



Se questa ammette un punto di coincidenza semplice, la funzione algebrica 

 x (t) ha un punto di diramazione in cui vengono scambiati due rami. Perciò il 



(') Loc. cit pag. 143. 

 ( 2 J Math. Annalen Bd. 28. 



Rendiconti. 1904, Voi. XIII, 1° Sem. 50 



