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Matematica. — Sui fondamenti della Geometria intrinseca 

 non-euclidea. Nota del Corrispondente E. Cesàro('). 



Per liberare la Geometria intrinseca piana dal postulato di Euclide è 

 necessario riferire i punti del piano al più generale sistema di coordinate 

 curvilinee, assumendo 



(1) TùSu 2 -\-2Fóuóv + Góv 2 , 



con E, F, G funzioni qualunque delle coordinate u , v, come espressione del 

 quadrato della distanza fra i punti (u, v) ed (u -f- Su , v -f- Sv), infinitamente 

 vicini. Se poi si vuole che il reticolo delle linee coordinate possa rigidamente 

 spostarsi nel piano, in tutti i sensi, ognun sa che deve risultare costante, 

 in tutto il piano, il noto invariante K, che nell'ipotesi di Euclide ha il 

 valore zero. Ora s' immagini che il detto reticolo vada occupando una sem- 

 plice infinità di posizioni, in corrispondenza dei valori d' un parametro t. In 

 ciascuna di esse ogni punto, fisso nel piano, avrà coordinate dipendenti dal 

 valore di t; ed al variare di questo le coordinate stesse varieranno con ra- 

 pidità vincolata unicamente alla posizione del punto nel piano, sicché si avrà 



(2) — = g>(u,v) , = Xp{U , V) , 



con (p e ip che pur dipendono dai coefficienti della forma fondamentale (1). 

 Per ogni punto mobile la rapidità di variazione delle coordinate, rispetto al 

 reticolo pensato per un istante come immobile, verrà misurata mediante gli 

 eccessi dei primi sui secondi membri delle (2) ; e però queste, prese insieme, 

 esprimono anche quanto basta per l' immobilità del punto (u , v). Applican- 

 dole al punto (u -f- Su , v -f- Sv) si trova 



Su = — Su -f- — Su , -77 Sv == — Su -4- — So. 



dt ~òu ~òv dt ~òu 1 ~òo 



D'altra parte l'espressione (1), quadrato della distanza fra due punti fissi, 

 non può variare con t. Ne segue che dev'essere 



(e* + ta>) *.) + 0*. + m (f * ») 



(*) Presentata nella seduta del 24 aprile 1904. 



