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Ora basta applicare alla coppia di sinistra, come a quella di destra, la 

 nota condizione d'integrabilità l> 2 /~òu~òv = ~ò 2 /'òv~òu , per trovare le relazioni 



F ^ + Kyj/EG — F 2 ) — G ^ — Kip ]/EG — F 8 ) = 0, 

 E (— ^ + Kg> j/EG — T 2 \ — F — K> t/EG — F 2 ) = 0 , 



necessarie e sufficienti affinchè esistano le funzioni y> e ip, soddisfacenti 

 alle (4). Ne segue, per K<0, poiché EG — F 2 > 0 , 



... ~ìx/ìv . ix'iù 



(o) (p== _^^^ == ^^ > ^ 



Kj/EG — F 2 K|/EG— F s 



Occorre poi, e basta, per l'esistenza di %, che si abbia 



f u (cp |/EG- F« ) + ~ ( V |/EG- F 2 ) = 0 , 



ossia 



+ ? + ("m + «122)9 + («121 + a 22i ) ip = 0, 



condizione sempre soddisfatta, in virtù delle (4). Sostituendo in queste i va- 

 lori (5), e richiamando le varie espressioni (') di K in funzione dei sim- 

 boli a, si riconosce che la funzione % deve soddisfare alle equazioni diffe- 

 renziali 



sicché J*% -f- 2Kz = 0. Trovata una tal funzione, le (5) faranno poi cono- 

 scere <p e tp. 



Le considerazioni precedenti ricevono una facile ed interessante appli- 

 cazione nella Geometria non-euclidea, quando si adotta (a prescindere da un 

 fattore costante) il sistema di coordinate adoperato da Beltrami nel suo ce- 

 lebre Saggio ( 2 ), per far sì che le rette siano rappresentate da equazioni 



(') Bianchi, 1. cit., pag. 51. 



( s ) Opere matematiche, t. I, pag. 377. 



