lineari. Per 



B 2 (B 2 — v~) Wuv B 2 (B 2 — u-) 



(B 2 — »? — o 2 ) 2 ' (E 2 — v? — v 2 ) 2 ' (B 2 — w 2 — y 2 ) 2 ' 



si ha 



2u . 2t; _ _ n 



«111 = ^«122 = ^2 v 1 ' a222 Z " 121 JJ2 ^2 y 2 ' " 112 a221 U ' 



j/EG F ^ _______ ^ ,K— R2 > 



e le (6) diventano 



^- (xfR*— = Ó , ^(xj/fi' — »»— v 2 ) = 0, 



u» z v x * £ 



Ti" 



(z|/ 7 R 2 — a 2 — y 2 ) = 0 



3».7>v 

 d'onde risulta 



R(x -)- A» + 



X = 



j/B 2 — » 2 — v 



2 



con x , X . indipendenti da à , y. Ora dalle (5) si ha 



tp = (* -J- 2w) w + ,u (R 2 — w 2 ) , — ìp = (x + u + /t(B 2 — v 2 ). 

 Ciò premesso, si regoli lo spostamento del reticolo delle linee coordinate 

 mediante una linea segnata ad arbitrio nel piano, obbligando l'origine 

 M(» = 0,y = 0) a percorrere la linea stessa, dirigendo tangenzialmente a 

 questa l'asse delle », ed assumendo come parametro t l'arco s percorso 

 da M. Per una variazione infinitesima di s dovrà risultare óv = 0, e la 

 espressione (1) dovrà rappresentare, in M, il quadrato ds 2 dell'arco elemen- 

 tare, sicché, essendo E = l, sarà 6u = ds. D'altra parte in M si ha <p = ( uB 2 , 

 ìp = — AB 2 , e per conseguenza 



ds--^ ' ds~ ÀU ' 

 quindi X== 0 , ,u = — 1/R 2 . Dopo ciò le (2) si riducono alla forma 



,„\ du ^ . u 2 dv . uv 



(7) Ts= XV ~ l + W ' Ts^-^ + W- 



Son queste, in Geometria iperbolica, le condizioni necessarie e sufficienti 

 per l'immobilità del punto (u , v). Basta cambiare R 2 in — R 2 per ottenere 

 le analoghe condizioni in Geometria ellittica. 



Bimane da trovare il significato geometrico di x. Affinchè (M) sia una 

 retta occorre e basta che, quando M si sposta, l'asse delle u resti immobile, 

 e per conseguenza che l'equazione ottenuta derivando v = 0, ossia x» = 0, 



