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sia soddisfatta per qualunque u. Dunque x = 0. Al medesimo risultato si 

 perviene esprimendo che la distanza della retta (M) da qualsiasi punto del 

 piano deve, quando M si sposta, rimanere inalterata. Qui conviene richia- 

 mare la forinola (') che dà la distanza r fra due punti qualunque (u 0 , v 0 ) 

 ed (u , v) : 



(8) eh — = — 



R j/(R 2 — u 2 — v 2 ) (R 2 — u\ — vi) 



Basta porre u o = u,v o = 0, per trovare che la distanza del punto (u,v) 

 all'asse delle u si calcola mediante la forinola 



T V 



(9) th § = 



R t/R 2 — « 



dalla quale, per le (7), si deduce 



dr xUu 



ds y R 2 — u 2 



sicché, dovendo u rimanere arbitraria, si ritrova x = 0 come condizione ne- 

 cessaria e sufficiente per l' invariabilità di r, ossia perchè (M) sia una retta. 

 Se poi non è x = 0, si può sempre trovare sull'asse delle v un punto C 

 (centro di curvatura, reale o ideale), che si sposta tangenzialmente all'asse. 

 Una delle sue coordinate è u = 0 ; l'altra si ottiene scrivendo du = 0, ossia, 

 per la prima delle (7), v = l/x. Si può dunque esprimere x in funzione 

 del raggio di curvatura q = MC, sostituendo le coordinate di 0 nella 

 forinola (9): 



(10) x = 1/R th |- . 



Nel piano euclideo (R = oo) questa espressione si riduce ad I/q, ed è perciò 

 naturale assumerla come misura della curvatura, anche per le osservazioni 

 già fatte e per altre che faremo fra breve. Per ora si noti soltanto che x è 

 bensì suscettibile di qualsiasi valore reale, ma il centro di curvatura non è 

 reale se non per |x| = l/R. I punti nei quali il raggio di curvatura è infi- 

 nito (x = 1/R) non sono perciò da confondere, nel piano di Lobatschewsky, 

 con quelli d' inflessione (x = 0), intorno ai quali la linea considerata si com- 

 porta come una retta. La prima specie di punti non esiste nel piano di 

 Rientrami, e nel piano euclideo essa non apparisce perchè si confonde con 

 l'altra. 



( J ) Beltrami, 1. cit., pag. 405. 



