— 443 — 



Dalle (7) si passa agevolmente alle analoghe condizioni, relative a qua- 

 lunque altro sistema di coordinate curvilinee. Se si vuol' fare uso di coordi- 

 nate polari, si noti che la distanza r di M da un punto (u , v) è data, in 



virtù di (8), dalla forinola R th — = ^v 2 -f- v 2 , sicché si è condotti a porre 



(11) w = Rth— -costì , y = Rth— -sentì; 



R R 



ed è facile constatare che tì rappresenta appunto l'altra coordinata, cioè la 

 inclinazione del raggio vettore sull'asse delle u. Le (7) si trasformano nelle 

 seguenti relazioni 



dr de sentì 



(12) _ = _ cose ,^ = _ 3£ _i_ 



Rth- 



necessarie e sufficienti per l'immobilità del punto (r , tì). In particolare, 

 se (M) è una circonferenza (r = a), la prima condizione dà e = ^it, vale 

 a dire che nel centro (reale o ideale) concorrono tutte le normali ; poi dalla 

 seconda condizione si deduce, ricordando la (10), q — a. Una circonferenza 

 è dunque caratterizzata da un'equazione della forma x = costante. Se la co- 

 stante è ± 1/R si ha un oriciclo, o circolo di raggio infinito, che non si 

 può confondere con la retta, per la quale si ha invece x = 0, come si è 

 visto, e non q = oo . Se la costante ha un valore assoluto minore di 1/R, 

 la circonferenza è priva di centro reale. Qui apparisce la convenienza di 

 sostituire x a q nella rappresentazione intrinseca delle curve, affinchè l'equa- 

 zione conservi la forma reale anche in vicinanza dei punti d' inflessione. 



Ora, per trovare la relazione fra un arco infinitesimo di circonferenza e 

 l'angolo al centro, poniamo il polo nel centro e dirigiamo l'asse polare se- 

 condo uno dei lati dell'angolo. Così un estremo dell'arco ha le coordinate 

 r 



u = R th — , v == 0 ; e gli incrementi di queste, quando si va nell'altro 

 R 



estremo, si possono calcolare mediante le (11), supponendo tì = 0,Jr = 0, 



r 



dimodoché Su = 0 , Sv = R th — • ód ; poi, ricordando l'espressione (1) di ds 2 , 



R 



ds = 1/ G . Sv = — — - — = R sh ^ • Se. 

 |/r 2 — u 2 R 



In particolare l'angolo di due normali infinitamente vicine è v = afs/Rsh ^- 



R 



Per trovare l'angolo s di due tangenti infinitamente vicine si deve prima di 

 tutto osservare che, in virtù d'un noto (^ teorema, l'area compresa fra le 

 quattro rette predette è (e — rj) R 2 . D'altra parte l'area stessa è misurata 

 dall' integrale 



rj J" P R sh £ * dr = rjW ^ch j| — 1^ . 

 (') Lobatschewsky, Giornale di Battaglini, 1867, p. 310. 



