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Ne segue s = jj eh ^ — ds/U th ~ = x ds . Dunque la curvatura x rappre- 

 senta, come in Geometria euclidea, il rapporto di « a ds. 



Evidentemente la curvatura della linea (C), sviluppata di (M), è 

 xi = rj I dsi ; e d'altra parte si ha ds l = dq. Ne risulta, per la determina- 

 zione della sviluppata, la coppia di eguaglianze 



Così, per esempio, se si prende Q l = a, si vede che l'equazione intrinseca 

 d'una sviluppante di circolo è 



811 2R 2R R ' 



ed in particolare, per a = oo , se si sposta convenientemente l'origine degli 

 archi, si trova che la sviluppante dell' oriciclo è rappresentata dall'equazione 



w , s + ys* — R 2 

 9 = R lQ g R • 



Altro esempio. Mediante le (12) si trova facilmente l'equazione d' una spi- 

 rale logaritmica: 



th | = J/Pp~^ th — 



L'applicazione delle (13) conduce all'equazione della sviluppata 



% th s=TT^( 1 +'"' ch, s) si l- 



ben diversa da quella della sviluppante. Solo nel piano euclideo le due 

 equazioni coincidono nell' unica Q = ms. Ed è questo un fatto generale, che 

 cioè le varie proprietà d' una curva euclidea si trovano per così dire distri- 

 buite fra curve differenti nel piano non-euclideo. Così, per esempio, se cal- 

 coliamo la sottotangente polare p, e la sottonormale polare q, mediante le 

 forinole 



th£ = thf • cos B = th |- • sen 6», 



troviamo bensì q — Q, per la spirale logaritmica, come nel piano euclideo, 

 ma non p = — s. Evidentemente la seconda proprietà deve appartenere alla 



