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sviluppata della spirale; ed infatti dalla relazione 



th £ + th |- ■ cos 6 = 0 , 



V S 



ossia dr/th. — == ds/Va. — , si deduce, integrando, 



sh — = m sh — , poi cot 6 = — - — • eh — ; 



R R i/\ _ fYÌ 1 " 



quindi, per la seconda condizione (12), si giunge all'equazione 



^1 -f- m 2 sh 2 ^ sh 



fi ' R/ R' 



che non differisce dalla (14), come subito si riconosce cambiando m in m/j/l-r-m 2 . 



Segnaliamo, per finire, l'applicazione che delle (7) si può fare allo 

 studio di qualunque doppio sistema ortogonale di curve. Posta l'origine in 

 un punto qualunque M, si dirigano gli assi secondo le tangenti alle due 

 curve del sistema, incrociantisi in M, e si distingua con l'indice 1 o 2 

 tutto ciò che si riferisce alla curva tangente all'asse delle u, o all'asse 

 delle v, rispettivamente. Le (7), applicate alle due curve, prendono la forma 



~òu , . u % Tiy , uv 



I 



1)U.. . UV 1>V . . V 2 



2 



Affinchè esista una funzione, della quale sian dati i quozienti differenziali 

 ~ò/7)Si e ~òjis 2 , è necessario e sufficiente che da tali quozienti sia soddisfatta 

 una certa relazione 



~ò 2 i 2 ja, , j_ 

 — — ■ ^i ~t~ ^i •> 



con k { e k z dipendenti unicamente dal doppio sistema che si considera. Basta 

 applicare questa condizione ad una delle funzioni u , v , per trovare k x — *, , 

 / i . , 2 = x 2 , e giungere inoltre alla relazione 



che per K = 0 si converte nella nota relazione di Lamé ('), caratteristica 

 del piano euclideo. 



(') Legons sur les coordonnées curvilignes, pag. 85. 

 Kendiconti. 1904, Voi. XIII, 1° Sem. 



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