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triangoli e a tetraedri omologici : nei quali anzi non solo è sottintesa la restri- 

 zione (che ho posto in principio) circa la non esistenza di vertici comuni, ma 

 si sottintende addirittura che i due triangoli o tetraedri siano assolutamente 

 distinti, cioè non abbiano in comune neanche lati, o risp. spigoli nè facce. 

 Ove tali restrizioni si lascino cadere, si riconosce facilmente che le due figure 

 possono corrispondersi anche in omologie diverse da quelle indicate nei citati 

 lavori, ed anche in infinite omologie. Il risultato a cui si giunge (n. II e III) 

 discutendo questi casi (per un valor qualunque di n) è che se le due pira- 

 midi, ■pure avendo tutti i vertici distinti, hanno in comune uno spigolo, o 

 non sono omologiche in nessun modo, o si corrispondono in due diverse omo- 

 logie ; mentre se hanno vertici comuni, possono essere omologiche in uno, 

 o in due, o in tre, o in quattro, o in sei, o in infiniti modi (che vengono 

 assegnati per ogni caso). 



I. 



Le due date piramidi P = A, A 2 ... A„ +1 e P' = A'! A' 2 ... A' n+1 , 

 senza vertici nè spigoli comuni, si corrispondano in un'omologia Sì di centro 0 

 (necessariamente esterno ad ogni spigolo di P e P'), così che siano omologhi 

 A! e A\ , A 2 e A' 2 , . . . Se è possibile (con n'^> 3), sia Sì' un'altra omolo- 

 gia, di centro 0', che trasformi P in P\ Essendo Sì e Sì' distinte, almeno 

 due vertici di P avranno in esse come corrispondenti vertici di P' tra loro 

 diversi. 



Non può (qualunque del resto sia n) 0' coincidere con 0 : altrimenti, 

 se Ai è un vertice di P il cui omologo in Sì' non è A'i , ma p. es. A' 2 , 

 sarebbero allineati (con 0 = 0') i punti A! , A 2 , A'! , A' 2 , cioè coincide- 

 rebbero due spigoli di P e P', contro il supposto. 



Dico altresì che in Sì' non possono (per n ^> 2) essere corrispondenti due 

 vertici, come Aj e A', , che già si corrispondono in Sì. Invero in tal caso 0', 

 al pari di 0, starebbe sulla retta A, A'j , e, detto A 2 un vertice di P il cui 

 omologo in Sì' non sia A' 2 , ma p. es. A' 3 , poiché nel piano delle tre rette 

 (distinte) OAi , 0A 2 , 0A 3 giacciono già i tre vertici A',, A' 2 , A' 3 di P\ 

 l'omologo di A 3 in Sì' non potrebbe essere che A' 2 . Ad un quarto vertice A 4 

 non potrà anche in Sì' corrispondere A' 4 , e per n == 3 ciò è assurdo. Per 

 n *> 3, ad A 4 corrisponderà p. es. A' 5 , e allora, per una ragione analoga a 

 quella di poc'anzi, ad A 3 corrisponderà A' 4 : ma questo è assurdo, poiché il 

 piano delle rette A 2 A' 2 , A 3 A' 3 e il piano delle rette A 4 A' 4 , A 5 A' 5 , avendo 

 in comune le retta 00', starebbero in un S 3 , sicché starebbero in un S 3 i 

 cinque vertici A! , A 2 , . . . , A 5 di P. 



Neanche può avvenire che, essendo in Sì' omologo di A] p. es. A' 2 , 

 l'omologo di A 2 non sia A' l5 ma p. es. A' 3 , e l'omologo di A 3 non sia A'i, 

 ma p. es. A' 4 . Tutti questi punti giacerebbero infatti in uno stesso piano 

 (per 0 e 0'), epperò giacerebbero in un piano anche i quattro vertici A! , A 2 , 

 A 3 , A 4 di P. 



