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È pure assurdo (per n ^> 2) che a tre vertici Ai , A 2 , A 3 di P corri- 

 spondano in Sì' risp. i vertici A' 2 , A' 3 , A\ di P' dedotti con una permu- 

 tazione circolare da quelli che corrispondono ai precedenti in Sì. Infatti, se 

 n == 3 , ad A 4 dovrebbe anche in Sì' corrispondere A' 4 , il che si è dimostrato 

 già impossibile. Per n > 3, in quella ipotesi potrà inoltre accadere che ad 

 una coppia A 4 , A 5 corrisponda in Si' la coppia A' 5 , A' 4 , oppure che ad una 

 seconda terna A 4 , A 5 , A 6 corrisponda in Sì' la terna A' 5 , A' 6 , A' 4 . Ma 

 nel primo caso le rette Ai A\ , A 2 A' 2 , A 3 A' 3 giacerebbero in un piano, e 

 le rette A 4 A' 4 , A 5 A' 5 in un altro, e i due piani, avendo in comune la 

 retta 00' , apparterrebbero ad un S 3 , sicché starebbero in un S 3 i cinque 

 vertici A! , A 2 , . . . , A 5 di P. Nel secondo caso, osservando che dovrebbero 

 appartenere ad un piano le rette A 4 A' 4 , A 5 A' 5 , A 6 A' 6 , si giungerebbe 

 analogamente all'assurdo che uno stesso S 3 conterrebbe i vertici A) , A 2 ,..., 

 A 6 di P. 



Kesta dunque da considerare il solo caso che n sia dispari, e i vertici 



. n 4- 1 .l..-j<ia«j£ ...tv.,». 



di P si distribuiscano in — ^ — coppie, così che ai vertici A 2 - , Aj di cia- 



scuna coppia corrispondano in Sì' risp. i vertici A 'j , A'i . Ora per n ^> 3 

 (epperò > 4) anche questo è da escludere. Infatti se A, e A 2 , A 3 e A 4 , A 5 

 e A 6 sono tre di quelle coppie, i tre piani determinati dalle coppie di rette 

 Aj A\ e A 2 A' 2 , A 3 A' 3 e A 4 A' 4 , A 5 A' 5 e A 6 A' 6 , avendo in comune la 

 retta 00', giacerebbero in un S 4 , cioè starebbero in un S 4 i sei vertici 

 Ai , A 2 , . . . , Ag di P. 



Così il teorema enunciato per primo è dimostrato. 



II. 



Le due piramidi P e P', senza vertici comuni, abbiano ora in comune 

 uno spigolo s. Un'omologia che trasformi P in P' deve avere il centro su s, 

 altrimenti i due vertici di P' posti su s e gli altri due vertici di P' omologhi 

 ai due di P situati su s sarebbero in un piano. Perciò una tale omologia 

 (qualunque sia n) non esiste se la congiungente due vertici di P e P' esterni 

 ad s passa per uno dei vertici posti su s. Escluso questo caso, per n = 2 le 

 omologie domandate esistono, mentre per n ^> 2 esistono o no secondo che 

 su s trovasi o no un punto 0 (che necessariamente sarà unico) allineato con 

 le coppie di vertici di P e P' esterni ad s. Anzi nel primo caso, qualsiasi n, 

 ne esisteranno due (potendosi in due modi diversi far corrispondere tra loro 

 i vertici di P, P r giacenti sopra s), entrambe ben determinate; e non ne 

 esisteranno altre. 



III. 



Passando finalmente all' ipotesi (con n qualunque) di vertici comuni a 

 P e P', conviene trattare a parte i casi in cui essi siano in numero di 

 n -j- 1, u, od n — 1. 



