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a) Nel primo caso P e P' costituiscono una sola piramide, e questa 

 è trasformata in sè da infinite omologie: quelle che hanno il centro in un 

 vertice e l'iperpiano nella faccia opposta, e quelle che mutano uno dei ver- 

 tici in un altro, lasciando fissi i vertici rimanenti. 



b) Le richieste omologie sono pure in numero infinito allorché i ver- 

 tici comuni siano n: basta infatti far corrispondere l'uno all'altro i due vertici 

 non comuni, prendendo come centro un punto qualunque della loro congiun- 

 gente r, e come iperpiano d'omologia quello dei vertici comuni. — Oltre a 

 queste, si ha un'altra omologia quando r incontri la congiungente due vertici 

 comuni: questi si corrispondono in essa doppiamente, sicché l'omologia è 

 armonica. — Se invece r contiene uno dei vertici comuni, si hanno altre 

 infinite omologie, sia ponendo il centro in quest'ultimo e prendendo come 

 omologhi i due vertici non comuni, sia ponendo il centro in un altro punto 

 qualunque di r e facendo corrispondere a quel vertice comune, nell'omologia 

 e nella sua inversa, i due vertici non comuni, e, in entrambi i casi, condu- 

 cendo l'iperpiano d'omologia per i rimanenti vertici comuni. 



c) Se P e P', essendo omologiche, hanno n — 1 vertici comuni, i ver- 

 tici k x , A 2 di P non comuni a P' non possono avere entrambi come omo- 

 loghi vertici comuni : altrimenti le congiungenti queste due coppie di punti 

 omologhi, passando per il centro di omologia, sarebbero in un piano, il 

 quale conterrebbe quindi quattro vertici di P. — Aggiungasi che i quattro 

 vertici non comuni debbono stare in un piano. Ciò è evidente se nell'omologia 

 essi si corrispondono a due a due ; ma se anche al solo corrisponde un vertice 

 non comune A\, mentre ad A 2 corrisponde p. es. A' 2 = A 3 , detto 0 il centro 

 (situato sulla retta A! A'J, sulla OA 2 starà il punto A' 3 omologo di A 3 , e 

 questo sarà l'altro vertice di P' non comune a P. 



Se dunque P e P' sono omologiche, son tali, in generale, in due diverse 

 omologie Sì e Sì': quelle in cui ai due vertici non comuni Aj , A 2 di P cor- 

 rispondono i due A\ , A' 2 (oppure A' 2 , A'i) di P', essendo iperpiano d'omo- 

 logia per entrambe quello passante per gli n — 1 vertici comuni e per l'in- 

 tersezione delle rette Aj A 2 , A\ A' 2 (la quale è certamente esterna all' S n _ 2 

 dei punti precedenti). — Quando poi (con n > 2) la congiungente due ver- 

 tici comuni A 3 , A 4 passi per il centro di Sì o di Sì' , si ha una terza omo- 

 logia, che ha quello stesso centro, e in cui A 3 e A 4 si corrispondono in doppio 

 modo (sicché l'omologia è armonica), mentre l'iperpiano d'omologia passa per 

 tutti i restanti vertici comuni (si noti che non possono in tal caso altri due 

 vertici comuni essere allineati col centro della seconda omologia, altrimenti 

 sei vertici di P starebbero in un S 4 ). E una terza omologia si ha pure nel 

 caso, considerato sopra, in cui un vertice comune sia allineato con due vertici 

 non comuni. — Se invece, nel caso generale (qualsiasi n), il centro di Sì o 

 di Sì' coincide con uno dei vertici comuni, il corrispondente iperpiano d'omo- 

 logia diviene indeterminato, e le cercate omologie sono infinite. 



