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Fin qui si è implicitamente supposto che tre dei quattro vertici non 

 comuni non siano mai in linea retta. Se tre soli stanno sopra una retta r, 

 P e P' non possono essere omologiche; ma se anche il quarto giace su r, 

 le omologie richieste sono infinite, poiché i vertici comuni devono tutti neces- 

 sariamente essere uniti e il centro è un punto da scegliersi ad arbitrio su r, 

 dopo di che l'iperpiano d'omologia resta determinato (in due modi). 



Rimane ormai soltanto da discutere l' ipotesi che P e P' abbiano in 

 comune k vertici, essendo \<h<^n — 1, sicché almeno tre vertici di P 

 non apparterranno a P' e sarà n .> 3. Considerando anzitutto il caso in cui 

 uno dei vertici comuni si possa assumere come centro di omologia, gli altri 

 k — 1 saranno uniti, ed i non comuni si corrisponderanno a due a due sopra 

 n — k-\-l rette per il centro. L'iperpiano d'omologia, dovendo passare per 

 quei k — 1 vertici comuni, e per l'Sn-ft-! in cui si tagliano i due S„_ ; , indi- 

 viduati dai rimanenti vertici di P e dai rimanenti di P', è indeterminato. 

 Queste omologie sono dunque in numero infinito, e all' infuori di esse non 

 ne esistono altre che mutino P in P'. 



Escluso questo caso, un'omologia Sì, che trasformi P in P', o fa cor- 

 rispondere ad uno dei vertici non comuni uno di quelli comuni, o fa corrispon- 

 dere tra loro a due a due i vertici non comuni. 



Nella prima ipotesi, se al vertice A! di P, non appartenente a P', cor- 

 risponde in Sì un vertice comune A\ = A 2 , l'omologo A' 2 di A 2 sta sulla 

 retta A! A 2 e non è un vertice di P. I rimanenti vertici comuni sono uniti, 

 e i non comuni si corrispondono a due a due, non esistendone più di una 

 coppia sopra una retta uscente dal centro. L'omologia risulta pienamente indi- 

 viduata: ma se ne ha una seconda, che pure muta P in P', facendo corrispon- 

 dere A' 2 ad A, , assumendo A\ = A 2 come unito, e mantenendo inalterate 

 tutte le altre precedenti condizioni. 



Nella seconda ipotesi, i vertici non comuni (tra loro corrispondenti in Sì) 

 di P e P r sono a due a due allineati col centro 0, e i vertici comuni sono 

 tutti uniti, sicché Sì risulta individuata. Ma se due di questi ultimi sono in 

 linea retta con 0, essi possono anche farsi corrispondere tra loro in doppio 

 modo, e si ottiene una seconda omologia (armonica) che muta P in P\ E 

 una seconda omologia si ha pure quando sopra una stessa retta per 0 giac- 

 ciano due coppie di vertici non comuni ; oppure quando sulla congiungente 

 due vertici non comuni omologhi in Sì stia uno dei vertici comuni (è questo 

 il caso che già si è incontrato esaminando la prima ipotesi). — In questi due 

 ultimi casi particolari non esistono altre omologie atte a cambiare P in P'. 

 Nel caso generale, in cui le coppie A! , A'! ; ... ; A„_ ft+ i , A,/_fc +I di vertici (non 

 comuni) omologhi in Sì sono allineate con 0, se si hanno altre di quelle omo- 

 logie, devono lasciar fìsso ciascuno dei vertici comuni, e trasformare la pira- 

 mide Q = Ai A 2 . . . A„_ ft+1 nella piramide Q' = A\ A' 2 . . . A' M _ ft +i . Ciò 

 esige anzitutto che Q e Q' stiano in un medesimo S„_ fc : in caso contrario 



