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anche il quoziente j^J 1 ^ delle differenze finite, è infinito (infinitesimo) 

 di ordine non minore. 



IL Se il quoziente ' n . è monotono ed ha per n = oo , limite de- 



<p{oc n ) 



terminato, finito e diverso dallo zero, X , affermeremo che anche il quo- 

 ziente delle differenze finite tende allo stesso limite, se sarà monotona la 

 funzione 



f{x n ) — X(f{x n ). 

 Jf(x ) f(x ) 



III. Se il doppio rapporto , , : , per tutti qli n^ìH si 



f( x ) 



mantiene maggiore di un numero maggiore di 1 , il quoziente . n { è 



<P{%n) 



infinito e determinato per n = oo ; se invece si mantiene positivo, ma 

 minore di un numero minore di 1 , il quoziente delle funzioni è infi- 

 nitesimo. 



IV. Si ponga 



Jf(Zn) . f(x n ) 



Se esiste il limite 



/? = lim /?„ , 



n=oa 



ed è e un numero positivo dato a piacere, l'ordine di infinito della fun- 

 zione f(x n ), per n = oo, è minore di quello della variabile )<p{x n )\ l+ $ + ~% 

 maggiore di quello della variabile ^(.«n)} 1 " 1 "^ -8 - 



Seguendo le idee di Cauchy (') potremo anche dire: se si assume 

 come infinito principale quello della variabile (p(x n ), l'ordine di infinito 

 della f{x n ) è dato dal numero 1 -{- /?. 



V. Sé la variabile <p(x n ) , il cui infinito si assume come principale, 

 soddisfa la relazione: 



lim ^±i) = 1 . 



si ha 



1 + 3 ,= lim J K Xn) : f ^ Xn) , 



J(f(X n ) ' <f>{x n ) 



e cioè l'ordine d'infinito, al senso chiarito superiormente, della f(x n ), si 

 ottiene cercando il limite del doppio rapporto : :,A . 



f ) (Euvres, t. IV della 2 a serie, pag. 281. . ' 



