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VI. Anche se la § n non ha limite, l'ordine di infinito della f(g> n ), 

 relativamente alla <p(x n ) , è situato fra i limiti superiore ed inferiore di 

 indeterminazione della variabile l-|-/?„. 



jf\x^) f(X n ) 



VII. Se il doppio rapporto ' , ". : ; n { è infinito (infinitesimo) 



J(p{X n ) <f{X n ) 



per n = oo, l'ordine di infinito della f(x n ) è superiore (inferiore) a 

 quello di qualunque potenza reale positiva della <p(x n )- 



2. Le proposizioni enunciate si applicano immediatamente a funzioni 

 reali della variabile reale $, e danno le relazioni fra il comportamento 

 assintotico del quoziente di due funzioni e quello delle differenze finite. Tali 

 relazioni non richiedono la continuità delle funzioni che si considerano e 

 sono indipendenti dall'accrescimento finito h = x n +\ — della variabile. 



3. È facile vedere come esse si modifichino quando si abbia a che fare 

 con funzioni derivabili e si supponga h infinitesimo: enuncierò solo la pro- 

 posizione seguente che mi pare notevole: 



Sieno f{x) , cp(x) funzioni reali della variabile reale se, finite, ad un 

 valore e derivabili in tutti i punti di un intorno (x 0 ... -j- co). 



La (p{x) sia ivi sempre crescente ed infinita per % — -\-co, la f(x) 

 sia infinita e determinata per x = -f- co. 



Se il doppio rapporto : 



f'(x) . M 



<p\x) ' (f{x) ' 



è positivo nei punti (x ... -f- co) ed ha, per x = -\- co, limite determinato l, 

 sarà A l'ordine d'infinito (al senso di Cauchy) della f(x) quando per 

 infinito principale si assuma quello delle <p{x). 



Se quel doppio rapporto ha limiti inferiore e superiore di indeter- 

 minazione l.L, l'ordine di infinito (al senso detto superiormente) della 

 f(x) sarà compreso fra l , ed L . 



f f 



Aggiungeremo che : Se il doppio rapporto -^7 : è maggiore di 1 , 



in tutti i punti a distanza finita di un intorno (x 0 ••• -f- co), il quoziente 

 f(x) 



, . è sempre crescente, se minore di 1 , decrescente. 

 <p{x) 



4. Come applicazione di cotesto teorema si calcolerà l'ordine d' infinito 

 di una data funzione, quando l'infinito principale sia quello della x, cer- 

 cando il limite del prodotto della x stessa per la derivata logaritmica della 

 funzione data; 



quando si assuma come infinito principale quello della e x , cercando 

 il limite, per ^=00, della derivata logaritmica; 



quando per infinito principale si assuma quello della af, cercando 

 il limite del quoziente della derivata logaritmica per lg^, ecc. 



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