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siano convergenti i due integrali: 



J, oc 

 e~ tx a(t) dt, 

 0 



e~ lx a'(t) dt. 



o 



Essendo m , k due numeri positivi si ha, integrando per parti : 



e 



(io 



r 



m+Ti I 1 rm+k 



e-** a{t)dt = — ~ (e~ xt «(OC" + - e~ xt a\t) dt ; 



x 



X 



ora, dall'ipotesi delle convergenze degli integrali (1), (T), risulta che tenuto 

 fisso x, con H(x)^>a, e preso s piccolo a piacere, si potrà determinare m 

 abbastanza grande perchè sia, per ogni valore di k: 



Ciò porta alla conseguenza 



lim e~ xt a(t) = 0 , 



i = oo 



e quindi « dall'ipotesi della convergenza di (1) ed (V) per R,(x)^>a risulta, 

 k per gli stessi valori di x, la convergenza assoluta ed uniforme per 

 il primo di questi integrali ». 



2. Aggiungendo l' ipotesi delle convergenza di 



o 



risulterà parimente la convergenza assoluta ed uniforme di (1'), e quindi 

 sarà, per R(x) >> a ed h positivo : 



J- OD /"« 00 



0 J 0 



Sia «(^) finito per £ = 0; l'integrazione per parti di (1) ci dà: 



onde, per la (2): 



i r 00 



