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Facendo ora tendere h all'infinito, z(x-{-h) tende a zero, del primo 

 ordine almeno; e quindi « a(x) tende a zero del primo ordine almeno quando 

 « x tende all' infinito nel senso dell'asse reale e positivo » . 



3. Poniamo ora: 



a) « che la funzione a(t) abbia, fra 0 e -|-oo, le derivate di tutti 

 « gli ordini a'(t) , a"(t) , ... « Cn) (0 , ■■• ; 



b) « che le a (n) (t) abbiano valor finito per t = 0 ; porremo 



a^(0) = k n , (» = 0,1,2,...); 



e) « che per i valori di x tali che sia K(^) > a , siano convergenti 

 « tutti gli integrali 



J, °° 

 0 



Ne risulterà, per i §§ 1 e 2, che per quei valori di x si avrà 



lim e-* 1 a M (t) = 0 , (n = 0 , 1 , 2 , ...) , 



i!=oo 



e quindi che per U(x)^>a tutti gl'integrali (1*) convergeranno uniforme- 

 mente ed assolutamente; inoltre, dall'integrazione per parti, verrà 



k 1 



(3) & n (x) = — H — a n+ i(^) , (n = 0 , 1 , 2 , ...) ; 



infine, le a n (a?) tenderanno a zero, del prim'ordine almeno, quando x tenda 

 all'infinito nel senso dell'asse reale positivo. 



4. La relazione (3) conduce facilmente al primo dei risultati che ci 

 proponevamo di ottenere. Infatti da codeste relazioni si ricava 



a teO = V + + " ' ■ + ^T + ^T a ^ 1 (" 2; )' 



e quindi 



(4) lim x^ U(x) - ^ - £ - • ■ • - JjA = lim a M+1 (*) = 0 , 



intendendo che « tenda all' infinito nel senso indicato. 

 Ora, se la serie 



a(x) = I 



- x n+1 



è convergente, la (4) esprime che, nel campo di convergenza di questa serie. 



