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essa rappresenta la funzione a(x) , che pertanto è regolare nell' intorno di 

 # = oo. Invece, se la <j{os) è divergente, la (4) esprime appunto che la 

 serie <f(x), secondo la definizione dovuta al Poincaré ( 1 ), è lo sviluppo assin- 

 totico di &(x). « Ogni funzione determinante (1), per la quale siano sod- 

 « disfatte le condizioni poste al § 3, ammette dunque uno sviluppo in serie 

 « di potenze intere negative di x, effettivo od assintotico ». 



5. Non si è supposto fin qui l'analiticità della funzione a(t), genera- 

 trice della funzione determinante a,(x). Qualora a(t) sia analitica, e regolare 

 entro un cerchio di centro t = 0, ove essa ammetta lo sviluppo 



(5) a { t ) = 2^, 



ni 



questo sviluppo sarà, per la serie <r(x), quello che il Borei chiama asso- 

 ciato ( 2 ). Ora, basta il cambiamento di t in — nell'integrale (1) per mo- 



strare come questo integrale dia precisamente la somma generalizzata ( 3 ) 

 della serie c{x), se divergente. Ma non è affatto necessario di supporre la 

 convergenza della serie (5) ( 4 ) ; basta di limitarsi alle ipotesi del § 3, le 

 quali non richiedono neppure che a(t) sia analitica ed esista fuori dell'asse 

 reale, per potere concludere che « sotto le ipotesi del § 3 per la funzione 

 « generatrice, la funzione determinante è rappresentata dalla serie o(x) in 

 « quanto ne è la somma generalizzata, ed in quanto la serie stessa ne dà lo 

 « sviluppo assintotico ». 



6. Riferendoci alla definizione di serie assolutamente sommabile, si 

 vede come essa sia stata ora estesa ; infatti, non importa più che intervenga 

 la serie associata: basta, data la serie divergente a(x), che i suoi coeffi- 

 CIGIltl /Cq ■., k\ ~ ... /Cfi s ... siano i valori, per t = 0, di una funzione a(t) defi- 

 nita insieme alle sue derivate per tutti i valori positivi di t, in modo che 

 siano soddisfatte le condizioni del § 3, per poter concludere all'esistenza 

 della sommabilità e della proprietà assintotica di a(x). 



7. Abbiasi l' integrale 



(6) h(x) = f V- 1 f{u) du , 

 (M Acta Math., T. Vili, pag. 296. 



( 2 ) All' infuori del cambiamento, nelle <s{%), di x in — . 



... ce 



( 3 ) Inoltre <s{%) è assolutamente sommabile. V. Borei, Legons sur les séries diver- 

 gentes, pag. 99 (Paris, Gautliier-Villars, 1901). 



( 4 ) Il Borei avverte (loc. cit., nota a pie' della pag. 99) che si potrebbe estendere 

 la teoria delia sommabilità anche al caso che non sia convergente la serie associata. 



