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e si consideri insieme a questo 



b 1 (x) = )u x - l f(u)du. 



0 



Se f(u) , f'(u) sono tali che gl'integrali (6) e (6') siano convergenti, il 

 primo per R(V) > a (*), il secondo per R(x) ]> « -f- 1 , si può vedere, con 

 dimostrazione perfettamente simile a quella del § 1, che per R(^)> a è 



onde, per quei valori di x , l' integrale (6) è assolutamente ed uniforme- 

 mente convergente. Di più, aggiungendo l'ipotesi della convergenza di 



per ~R(x) > a -j- 2 , si vede, con dimostrazione del tutto analoga a quella 

 del paragrafo 2, che \>{x) tende a zero, del primo ordine almeno, se x tende 

 all' infinito nel senso dell'asse reale e positivo. 



8. Ora sia dato l'integrale (1) in cui siano soddisfatte le ipotesi del 

 paragrafo 3; ponendo in questo e in (T) 



si avranno gl'integrali (6) e (6') in cui sono soddisfatte le ipotesi del pa- 

 ragrafo precedente, e sarà precisamente 



Eseguendo lo stesso cambiamento di variabile sui successivi integrali 

 a, 2 (x) , & 3 (x) , ... , si vede senza difficoltà che la e~ tx a (n \t) si esprime in 

 funzione lineare a coefficienti costanti di 



lim u x f(u) — 0; 



i = — log u , a{ — log u) = f(u) 



&(x) = h(x) , & x {x) — — b^x). 



u x f\u) , n x+l f'{u) , ... u x+n f™(u) ; 



e dalle ipotesi del paragrafo 3 risulta che 



(7) 



0 



è convergente per U(x) > a -)- n . 



(!) V. la nota al § 1. 



