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Si vede ancora che f M (l) è un numero finito g n , (« = 0,1,2, ...) e 

 fra le k n e le g n passano delle relazioni che si possono ottenere in modo 

 assai semplice ( 1 ). 



Ora l' integrazione per parti di (6) e (7) ci dà 



a(ar) = 4^ — - b,^ -f 1) per R(# ) > a , 



CO CO 



b„(a?) = ^ b )H .,(« + 1) per R(#) >« + «, (» = ì , 2 , 3 , ...). 



CO co 



Cambiando in quest' ultima x in x-\-n, risulta dalla combinazione 

 delle uguaglianze precedenti la relazione valida per R(^)^><2: 



& ( x ) = So. il j ù , (~l) w gn 



w « + d?(a?+l)(a; + 2) ^a?(a? + l)...(ar-f n) 



( — 



#(# + !) ••• (•£ + «) 



Tendendo # all'infinito nel senso dell'asse reale, h n (x n -\- 1) tende 

 a zero; onde viene 



lim 4, + 1) ... (, + ,0 j, M - + - - + ^7 ) 1 , r ( ^ + M) I - o ; 



e quindi « lo sviluppo in serie di fattoriali, che, se convergente, rappresenta 

 « effettivamente &(%), lo rappresenta assintoticamente con estensione imme- 



(') Per ottenere queste relazioni, «(0 si può, senza restrizione, supporre sviluppa- 

 bile in serie di potenze di t. Ne viene 



tWi = «(- log «) = ?{- \) n j^j log» u ; 



ma 



log» U — C n . n {u — \) n + C n+l . n (u — 1)" +1 + Cn+z.n{u - l) n+ ° — 



dove c n ,n , Cn+i,n , sono numeri noti (i cosidetti numeri di Schiarii). Onde viene 



con 



g n = (— (Cn+i-i fa + Cn+l-ì fa~\ H Cn+i-n+i kn+i)- 



Cfr. il metodo di Stirling indicato da Nielsen (Recherches sur les séries de factorielles, 

 negli Ann. de l'Éc. Normale, S. Ili, T. XIX, pag. 437). 



